موضوع وطني
National 2010 · SM · session rattrapage
RS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3 pt(s)
نذكر أن (M3(ℝ),+,×) حلقة واحدية غير تبادلية. نعتبر المجموعة : E={M(x)=100x10x22x1 / x∈ℝ}
1.بين أن E جزء مستقر في (M3(ℝ),×)0.5
2. a)بين أن التطبيق φ الذي يربط العدد الحقيقي x بالمصفوفة M(x) تشاكل تقابلي من (ℝ,+) نحو (E,×).0.5
2. b)استنتج أن (E,×) زمرة تبادلية.0.5
2. c)حدد M−1(x) مقلوب المصفوفة M(x) حيث x عدد حقيقي.0.5
2. d)حل في المجموعة E المعادلة : A5X=B حيث : A=M(2) و B=M(12) و A5=A×..×A5 fois0.5
3.بين أن المجموعة : F={M(ln(x)) / x∈ℝ*+} زمرة جزئية للزمرة (E,×).0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
4 pt(s)
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد و ممنظم و مباشر (O ; u,v).
1. a)نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة : (E) z2−4iz−2+2i√3=0. تحقق ان العدد العقدي a=1+i(2−√3) حل للمعادلة (E)0.5
1. b)استنتج b الحل الثاني للمعادلة (E)0.5
2. a)بين أن : a2=4(2−√3)eiπ60.5
2. b)اكتب العدد a على الشكل المثلثي.0.75
3. a)نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي a و b و c=2i+2eiπ7. لتكن (Γ) الدائرة التي أحد أقطارها [AB]. حدد ω لحق النقطة Ω مركز الدائرة (Γ)0.5
3. b)بين أن النقطتين O و C تنتميان للدائرة (Γ)0.5
3. c)بين أن العدد العقدي c−ac−b تخيلي صرف.0.75
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 10 كرات بيضاء و كرتين حمراوين . نسحب الكرات من الصندوق الواحدة تلو الأخرى بدون إحلال إلى أن نحصل لأول مرة على كرة بيضاء ثم نوقف التجربة . ليكن X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الكرات المسحوبة.
1. a)حدد مجموعة قيم المتغير العشوائي X0.25
1. b)احسب احتمال الحدث [X=1]0.5
1. c)بين أن : p[X=2]=5330.5
1. d)احسب احتمال الحدث [X=3]0.5
2. a)بين أن: E(X)=1311 . (حيث E(X) هو الأمل الرياضي للمتغير العشوائي X)0.5
2. b)احسب E(X2) ثم استنتج قيمة V(X) . (حيث V(X) هي مغايرة المتغير العشوائي X)0.75
Problème — التحليل
10 pt(s)
Partie I
I- نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال I=[0,1] بما يلي: f(x)=11−ln(1−x) ; 0≤x<1f(1)=0 و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j).
Partie II
II- نضع : I0=∫01f(t) dt و لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n : In=∫01tnf(t) dt
Partie III
III- لكل عدد حقيقي x من المجال J=[0,1[ و لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع : F0(x)=∫0xf(t) dt و Fn(x)=∫0xtnf(t) dt و F(x)=∫0xf(t)1−t dt و Sn(x)=k=n∑k=0Fk(x)
1.بين أن الدالة f متصلة على اليسار في 10.5
2.أدرس قابلية اشتقاق الدالة f على اليسار في 10.5
3.أدرس تغيرات الدالة f على المجال I ثم أعط جدول تغيراتها.0.75
4. a)بين أن المنحنى يقبل نقطة انعطاف وحيدة أفصولها e−1e0.5
4. b)أنشئ المنحنى (C) مبرزا نصف مماسه في النقطة التي أفصولها 0 . (نأخذ ‖i‖=‖j‖=2 cm)0.75
5.بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد α من المجال I يحقق: f(α)=α0.5
6. a)بين أن الدالة f تقابل من المجال I نحو I.0.25
6. b)حدد f−1(x) لكل عنصر x من المجال I.0.5
1.بين أن المتتالية (In)n≥0 تناقصية ثم استنتج أنها متقاربة.0.75
2.بين أن : (∀n≥0) 0≤In≤1n+1 ثم حدد نهاية المتتالية (In)n≥0.0.75
1.بين أن: (∀n∈ℕ) (∀x∈J) F(x)−Sn(x)=∫0xtn+1f(t)(1−t) dt1
2. a)بين أن الدالة : x→(1−x)(1−ln(1−x)) تناقصية قطعا على المجال J0.5
2. b)استنتج أن الدالة : t→f(t)1−t تزايدية قطعا على المجال [0,x] مهما يكن x من المجال J0.5
3. a)بين أن : (∀n∈ℕ) (∀x∈J) : 0≤F(x)−Sn(x)≤1n+2(11−x)1
3. b)استنتج أنه مهما يكن العدد x من المجال J لدينا : limn→+∞Sn(x)=F(x)0.5
4. a)حدد F(x) من أجل x∈J0.5
4. b)حدد النهاية: limx→1−F(x)0.25