Sujet national
National 2026 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(1,1,1), B(2,0,1) et C(−2,−2,4). Soit (P) le plan d'équation x+y−2z+12=0. Pour les questions 2, on considère de plus la sphère (S) de centre Ω(a,b,c), tangente au plan (P) au point C et coupée par le plan (OAB) suivant un cercle (Γ) de centre O et de rayon r=4√3.
1. a)Montrer que OA∧OB=i+j−2k0.25
1. b)Déduire que les plans (P) et (OAB) sont parallèles.0.25
1. c)Vérifier que : x=ty=tz=−2t (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (OC)0.25
1. d)Vérifier que C∈(P) et montrer que la droite (OC) est orthogonale au plan (P)0.5
2. a)Vérifier que Ω∈(OC) et déduire que a=b et c=−2a0.5
2. b)Montrer que OΩ=|a|√60.25
2. c)Vérifier que d(Ω,(P))=|a+2|√60.25
2. d)Montrer que a=1 (Remarquer que ΩC2−ΩO2=48) puis déduire les coordonnées de Ω et le rayon R de la sphère (S)0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives : a=√3+i, b=a et c=2√3. Pour les questions 2, soit R la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M′ d'affixe z′ tel que z′=ei2π3(z−a)+a. Pour les questions 3, soit D le point d'affixe d tel que R(B)=D.
1. a)Montrer que a−ca=−12+i√320.5
1. b)Écrire le nombre complexe −12+i√32 sous forme trigonométrique0.25
2. a)Vérifier que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.0.5
2. b)Montrer que R(O)=C0.5
3. a)Montrer que d=2√3+2i et déduire que les points A, D et O sont alignés.0.5
3. b)Montrer que c−bd=120.5
3. c)Montrer que OB=DC0.25
3. d)Déduire que le quadrilatère OBCD est un trapèze isocèle.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
2.5 pt(s)
Une urne contient quatre boules blanches numérotées 0 ; 0 ; 1 ; 1 et deux boules noires numérotées 0 ; 1. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne. On considère les évènements suivants : A : « Les deux boules tirées sont de même couleur. » et B : « La somme des nombres portés par les deux boules tirées est égale à 2. » Pour les questions 3, on considère la variable aléatoire X qui, à chaque tirage, associe la somme des nombres portés par les deux boules tirées.
1. a)Montrer que p(A)=7150.5
1. b)Montrer que p(B)=150.5
2.Montrer que la probabilité de B sachant que A est réalisé est p(B/A)=170.5
3. a)Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire X — première ligne xi : 0, 1, 2 ; seconde ligne p(X=xi) : à compléter.0.75
3. b)Montrer que l'espérance de la variable aléatoire X est E(X)=10.25
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par g(x)=e2x−1.
Partie II
On considère la fonction numérique définie par f(x)=x−ln 2+ln(1+e−2x). Soit (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j). Pour les questions 7, soit φ la restriction de la fonction f sur l'intervalle [0,+∞[.
Partie III
On considère la suite numérique (un) définie par u0=ln 2 et un+1=f(un), pour tout entier naturel n.
1. a)Résoudre dans ℝ, l'équation g(x)=00.25
1. b)Vérifier que g(x)<0 sur ]−∞,0[ et que g(x)>0 sur ]0,+∞[.0.5
2.Montrer que ∫−ln 2ln 2|g(x)| dx=980.75
1.Vérifier que la fonction f est définie sur ℝ0.25
2. a)Montrer que f est une fonction paire.0.5
2. b)Vérifier que limx→+∞f(x)=+∞ et déduire limx→−∞f(x)0.5
3. a)Montrer que la droite (Δ) d'équation y=x−ln 2 est une asymptote oblique à (Cf) au voisinage de +∞0.5
3. b)Déduire que la droite (Δ′) d'équation y=−x−ln 2 est une asymptote oblique à (Cf) au voisinage de −∞0.5
4. a)Montrer que pour tout x de ℝ, f′(x)=g(x)1+e2x0.75
4. b)Déduire que f est strictement croissante sur l'intervalle [0,+∞[ et strictement décroissante sur l'intervalle ]−∞,0] (On peut utiliser la question 1 de la Partie I.)0.5
5. a)Résoudre dans ℝ, l'équation f(x)=x0.5
5. b)Montrer pour tout x de [0,+∞[ : f(x)≤x0.5
5. c)Etudier la position de la courbe (Cf) et la droite (Δ) sur l'intervalle [0,+∞[0.5
5. d)Déduire que pour tout x de [0,+∞[ : 0≤f(x)−(x−ln 2)≤ln 20.5
6. a)Reproduire le graphique ci-dessus puis tracer dans le même repère, la droite (Δ′) et compléter la courbe (Cf) de la fonction f sur l'intervalle ]−∞,0]0.5
6. b)Soit A, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par (Cf), la droite (Δ), et les droites d'équations x=0 et x=1. Montrer que 0≤A≤ln 20.5
7. a)Montrer que φ admet une fonction réciproque φ−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (L'expression de φ−1(x) n'est pas demandée.)0.5
7. b)Vérifier que φ−1(ln(54))=ln 20.25
7. c)Montrer que φ−1 est dérivable en ln(54) et que (φ−1)′(ln(54))=530.5
1.Montrer par récurrence que 0≤un≤ln 2, pour tout n de ℕ0.5
2.Montrer que la suite (un) est décroissante. (On peut utiliser la question 5.b de la Partie II.)0.5
3.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75