Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(−1,0,1), B(−3,2,2), C(−1,1,2) et D(2,7,−4). Soit (Δ) la droite passant par le point D et dirigée par le vecteur u(2,1,2).
1. a)Montrer que AB∧AC=i+2j−2k.0.5
1. b)Déduire que x+2y−2z+3=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.25
1. c)Calculer u·(AB∧AC) et déduire que la droite (Δ) est parallèle au plan (ABC).0.5
2. a)Soit (S) la sphère de centre Ω(0,3,0) et tangente à la droite (Δ). Vérifier que ΩD·u=0 et déduire que le rayon de la sphère (S) est égal à 6.0.5
2. b)Calculer d(Ω,(ABC)) et déduire que (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ) de rayon r=3√3.0.75
2. c)Vérifier que CΩ=AB∧AC et déduire que le point C est le centre du cercle (Γ).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
On considère dans le plan complexe les points A, B et C d'affixes respectives a=√32+12i, b=eiπ12 et c=1.
1. a)Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique.0.5
1. b)Vérifier que b2=a et que bb=1.0.5
1. c)Montrer que a−1=(2−√3)i(a+1).0.5
2. a)Soit T la translation de vecteur OC et D le point d'affixe d tel que T(A)=D. Vérifier que d=b(b+b) et déduire que les points O, B et D sont alignés.0.5
2. b)Déduire que arg(d)≡π12 [2π].0.5
3. a)Vérifier que a−cd=(2−√3)i et déduire que les droites (AC) et (OD) sont perpendiculaires.0.5
3. b)Montrer que le quadrilatère OCDA est un losange.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
2.5 pt(s)
Une urne contient cinq boules blanches, quatre boules noires et deux boules vertes. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les évènements suivants : A : « Les trois boules tirées sont de même couleur. » et B : « Tirer au moins une boule verte. »
1. a)Montrer que p(A)=14165.0.5
1. b)Calculer p(B), la probabilité de l'événement contraire de B, et déduire que p(B)=2755.0.5
2.Calculer la probabilité p(A∪B).0.5
3. a)On considère la variable aléatoire X qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées. Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire X.0.75
3. b)Montrer que l'espérance de la variable aléatoire X est E(X)=611.0.25
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
On considère les fonctions numériques g et h définies sur ]0,+∞[ par g(x)=1−ln x et h(x)=x2ex−1.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par f(x)=ex−1−ln xx. Soit (Cf) sa courbe dans un repère orthonormé (O,i,j).
Partie III
Soit la suite numérique (un) définie par u0∈]1,α[ et un+1=φ−1(un), pour tout n de ℕ.
1. a)Calculer g(1) et h(1).0.5
1. b)Résoudre l'équation g(x)=0 dans l'intervalle ]0,+∞[.0.5
2. a)Le graphique ci-dessous représente les courbes (Cg) et (Ch) des fonctions g et h dans un même repère orthonormé. Justifier graphiquement que pour tout x de ]0,1[ : h(x)−g(x)<0, et que pour tout x de ]1,+∞[ : h(x)−g(x)>0.0.5
2. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫1eg(x) dx=e−2.0.5
2. c)Vérifier que la fonction H:x↦ex−1(x2−2x+2) est une primitive de la fonction h sur ]0,+∞[, puis calculer ∫01h(x) dx.0.75
2. d)Calculer l'aire du domaine hachuré sur le graphique précédent (en unité d'aire).0.5
1. a)Vérifier que limx→0+f(x)=+∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.0.5
1. b)Vérifier que limx→+∞f(x)=+∞.0.25
1. c)Montrer que limx→+∞f(x)x=+∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.0.5
2. a)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, f′(x)=h(x)−g(x)x2.0.75
2. b)Dresser le tableau de variations de f sur ]0,+∞[. (On peut utiliser la question 2.a de la partie I.)0.5
2. c)Déduire que pour tout x de ]0,+∞[, ex−1≥1+ln xx.0.5
3.Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution α telle que 32<α<2. (On donne f(2)≈2,37 et f(32)≈1,38.)0.75
4. a)Soit φ la restriction de la fonction f sur l'intervalle [1,+∞[. Montrer que φ admet une fonction réciproque φ−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (L'expression φ−1(x) n'est pas demandée.)0.5
4. b)Justifier que la fonction φ−1 est strictement croissante sur l'intervalle J.0.25
5. a)Le graphique ci-dessous représente la courbe (Cφ) de la fonction φ et la droite (Δ) d'équation y=x dans un repère orthonormé. Justifier graphiquement que pour tout x de [1,α] : φ(x)≤x.0.5
5. b)Déduire que pour tout x de [1,α] : φ−1(x)≥x.0.5
5. c)Reproduire la courbe (Cφ) et tracer la courbe (Cφ−1) de la fonction φ−1 dans un même repère orthonormé.0.5
1.Montrer par récurrence que 1<un<α, pour tout entier naturel n.0.5
2.Montrer que la suite (un) est croissante. (On peut utiliser la question 5.b de la partie II.)0.5
3.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75