Sujet national
National 2025 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite (un) définie par u0=32 et un+1=3un+22+un, pour tout entier naturel n.
1. a)Vérifier que un+1=3−42+un, pour tout entier naturel n.0.25
1. b)Montrer par récurrence que 0<un<2, pour tout entier naturel n.0.5
2. a)Montrer que un+1−un=(1+un)(2−un)2+un, pour tout entier naturel n.0.25
2. b)Montrer que la suite (un) est croissante et en déduire que (un) est convergente.0.5
2. c)Montrer que 0<2−un+1≤27(2−un), pour tout entier naturel n.0.5
2. d)Déduire que 0<2−un≤12(27)n, pour tout entier naturel n.0.5
2. e)Déterminer la limite de la suite (un).0.5
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(0,3,3), B(1,2,1), C(2,3,1) et le vecteur n(1,−1,1). Soit (P) le plan d'équation x−y+z−6=0.
1. a)Montrer que AB∧AC=2n et déduire que les points A, B et C sont non alignés.0.5
1. b)Montrer que les plans (ABC) et (P) sont parallèles.0.25
2. a)Soit (S) la sphère telle que le plan (ABC) est tangent à (S) en A et le plan (P) est tangent à (S) en un point H. Calculer la distance du point A au plan (P) et déduire que le rayon de la sphère (S) est √3.0.5
2. b)Donner une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par A et orthogonale au plan (P).0.25
2. c)Montrer que les coordonnées du point H sont (2,1,5).0.5
2. d)Montrer que x2+y2+z2−2x−4y−8z+18=0 est une équation cartésienne de la sphère (S).0.5
3.Déterminer les deux points d'intersection de la droite (BH) et la sphère (S).0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a=−√3+i2, b=1−i√32, c=1+a et d=c.
1.Vérifier que |a|=1 et que arg(a)≡5π6 [2π].0.5
2.Vérifier que c−dc−a=i et déduire que le triangle ACD est isocèle rectangle en C.0.75
3. a)Montrer que d−a=1−i et que b−d=√3−12(1−i).0.5
3. b)Déduire que les points A, D et B sont alignés.0.25
4. a)Soit R la transformation du plan qui transforme chaque point M d'affixe z en M′ d'affixe z′ tel que z′=az. Vérifier que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.0.5
4. b)Vérifier que ad=c et déduire que R(D)=C.0.5
4. c)Montrer que arg(c)≡5π12 [2π].0.5
Exercice 4 — Calcul des probabilités
2.5 pt(s)
Un sac contient 4 boules blanches et 3 boules noires (les boules sont indiscernables au toucher). Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise deux boules du sac. Les règles du jeu sont les suivantes : si les deux boules tirées sont blanches, on note +5 ; si les deux boules tirées sont noires, on note −5 ; si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, on note 0. On considère les évènements G : « noter +5 », Z : « noter 0 », N1 : « la première boule tirée est noire » et B2 : « la deuxième boule tirée est blanche ».
1. a)Calculer p(G), la probabilité de l'évènement G.0.5
1. b)Montrer que la probabilité de l'évènement Z est p(Z)=47.0.5
2. a)Calculer la probabilité p(N1∩B2).0.5
2. b)Montrer que p(B2)=47.0.5
2. c)Déduire la probabilité de « noter 0 » sachant que la deuxième boule tirée est blanche.0.5
Problème — Analyse
8 pt(s)
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x−1+4ex+2. Soit (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j).
1.Calculer f(0) et f(ln 2).0.5
2. a)Calculer limx→+∞f(x) et limx→−∞f(x).0.5
2. b)Vérifier que limx→+∞(f(x)−(x−1))=0 puis interpréter géométriquement ce résultat.0.5
3. a)Vérifier que pour tout x∈ℝ, f(x)=x+1−2exex+2.0.25
3. b)Calculer limx→−∞exex+2 puis déduire que la droite d'équation y=x+1 est une asymptote oblique à la courbe (Cf) au voisinage de −∞.0.5
3. c)Montrer que pour tout x∈ℝ, −1<f(x)−x<1.0.5
4. a)Montrer que pour tout x∈ℝ : f′(x)=e2x+4(ex+2)2.0.5
4. b)Déduire que la fonction f est strictement croissante sur ℝ.0.25
5. a)Montrer que pour tout m∈ℝ, l'équation f(x)=m admet une solution unique dans ℝ.0.5
5. b)Soit α l'unique solution de l'équation f(x)=0. Vérifier que −1<α<0 et montrer que eα=2(1+α)1−α.0.5
6. a)Montrer que pour tout x∈ℝ : f″(x)=4ex(ex−2)(ex+2)3.0.5
6. b)Étudier le signe de ex−2 sur ℝ.0.25
6. c)Déduire que la courbe (Cf) admet un point d'inflexion que l'on déterminera.0.5
6. d)Montrer que y=12x+ln 22 est l'équation de la tangente à (Cf) au point d'abscisse ln 2.0.5
7.Construire la courbe (Cf) dans le repère (O,i,j).0.75
8. a)Montrer que ∫0ln 21ex+2 dx=12ln(32).0.5
8. b)Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf), la droite d'équation y=x−1, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=ln 2.0.5