Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(0,0,2), B(2,0,0) et la sphère (S) de centre O et de rayon R=2.
1. a)Déterminer l'équation cartésienne de la sphère (S).0.25
1. b)Vérifier que les points A et B appartiennent à la sphère (S).0.5
2. a)Soit I le milieu du segment [AB]. Déterminer l'intersection du plan (OAB) avec la sphère (S).0.25
2. b)Vérifier que OI·AB=0 puis montrer que d(O,(AB))=√2.0.5
3. a)On considère un point M(0,m,0) de l'espace, où m∈ℝ. Vérifier que AB∧AM=2mi+4j+2mk.0.5
3. b)Déduire que mx+2y+mz−2m=0 est une équation cartésienne du plan (ABM).0.25
3. c)Montrer que d(O,(ABM))=2|m|√4+2m2.0.25
4.Le plan (ABM) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γm) de rayon r. Montrer que r=√2+42+m2 et déduire que √2<r≤2, pour tout m∈ℝ.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C, D et Ω d'affixes respectives a=1+2i, b=a, c=3(3+i)2, d=3(1+i)2 et ω=52.
1. a)Vérifier que a+b=2 et déduire que l'affixe du point P, milieu du segment [AB], est p=1.0.5
1. b)Montrer que a et b sont les solutions de l'équation z2−2z+5=0 dans l'ensemble ℂ.0.5
2. a)Vérifier que |ω−a|=|ω−b|=|ω−c|.0.5
2. b)Déduire que Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.0.25
3. a)Vérifier que d−ca−b=34i.0.25
3. b)Montrer que d−b=(c−a)eiπ2 puis déduire que les droites (DB) et (AC) sont perpendiculaires.0.5
4. a)Soit h l'homothétie de centre C et de rapport 23 qui transforme chaque point M du plan d'affixe z en un point M′ d'affixe z′. On pose h(P)=G. Vérifier que z′=23z+32+12i.0.25
4. b)Montrer que l'affixe du point G est g=136+12i.0.25
5.Montrer que les points Ω, G et D sont alignés.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
2.5 pt(s)
Une urne contient six boules indiscernables au toucher : quatre boules blanches numérotées 0 ; 1 ; 1 ; 1 et deux boules noires numérotées 0 ; 1. On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les évènements suivants : A « Les deux boules tirées portent le numéro 1 » ; B « Les deux boules tirées sont de même couleur ».
1. a)Montrer que p(A)=25.0.5
1. b)Montrer que p(B)=715.0.5
1. c)Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.0.5
2. a)On répète l'expérience précédente trois fois successives. On considère la variable aléatoire X indiquant le nombre de fois que l'on réalise l'évènement A. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilités de X.0.75
2. b)Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X.0.25
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
Le graphique ci-contre représente les courbes (Cg) et (Ch) des fonctions g:x↦x2 et h:x↦2ln x−(ln x)2 sur l'intervalle ]0,+∞[, dans un même repère orthonormé.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par f(x)=x−(ln x)2x. Soit (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).
Partie III
Soit (un) la suite numérique définie par u0=e et un+1=f(un), pour tout n de ℕ.
1. a)Justifier graphiquement que pour tout x de ]0,+∞[ : g(x)−h(x)>0.0.25
1. b)Déduire que pour tout x de ]0,+∞[ : 2ln x−(ln x)2x2<1.0.5
2. a)Vérifier que la fonction H:x↦xln x−x est une primitive de la fonction x↦ln x sur l'intervalle ]0,+∞[, puis déduire que ∫1e2ln(x) dx=1+e2.0.5
2. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫1e2(ln x)2 dx=2e2−2.0.5
2. c)Résoudre sur l'intervalle ]0,+∞[ l'équation h(x)=0 et déduire les deux points d'intersection de la courbe (Ch) avec l'axe des abscisses.0.5
2. d)Déduire, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Ch), l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=e2.0.5
1. a)Vérifier que limx→0+f(x)=−∞ et donner une interprétation géométrique de ce résultat.0.5
1. b)Montrer que limx→+∞(ln x)2x=0 (on peut poser t=√x), puis calculer limx→+∞f(x).0.5
1. c)Déduire que la droite d'équation y=x est une asymptote oblique de (Cf) au voisinage de +∞.0.5
2. a)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, f′(x)=1−2ln x−(ln x)2x2.0.75
2. b)Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0,+∞[ (on peut utiliser la question Partie I-1-b).0.5
3. a)Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans l'intervalle ]0,+∞[.0.5
3. b)Vérifier que e−1<α<1 et montrer que lnα=−α.0.75
3. c)Montrer que f(x)≤x, pour tout x∈]0,+∞[.0.25
3. d)Montrer que y=x est l'équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) au point d'abscisse 1.0.5
4. a)Le graphique ci-contre représente la courbe (Cf) dans le repère orthonormé (O,i,j). Soit φ la restriction de f sur l'intervalle ]0,1]. Montrer que φ admet une fonction réciproque φ−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer l'expression φ−1(x).)0.5
4. b)Montrer que φ−1 est dérivable en 0 et que (φ−1)′(0)=α2+2α.0.5
4. c)Recopier la courbe de φ et construire la courbe de φ−1 dans le repère (O,i,j).0.75
1.Montrer par récurrence que 1<un, pour tout n de ℕ.0.5
2. a)Montrer que la suite (un) est décroissante (on peut utiliser la question Partie II-3-c).0.5
2. b)En déduire que la suite (un) est convergente.0.25
2. c)Déterminer la limite de la suite (un).0.5