Sujet national
National 2021 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
4 pt(s)
Soit (un) la suite numérique définie par : u0=13 et un+1=1+un3−un pour tout n de ℕ.
1.Montrer que pour tout n de ℕ, 0<un<1.0.5
2. a)Montrer que pour tout n de ℕ, un+1−un=(un−1)23−un.0.5
2. b)Montrer que la suite (un) est convergente.0.5
3. a)On pose vn=11−un pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.0.75
3. b)Déterminer vn en fonction de n et en déduire que un=n+1n+3, pour tout n de ℕ.0.75
3. c)Calculer la limite de la suite (un).0.5
4.À partir de quelle valeur de n, a-t-on un≥10111012 ?0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
5 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c telles que : a=3+2i ; b=3−2i et c=−1−2i. Soit R la rotation de centre B et d'angle π2. Soit M un point du plan d'affixe z et le point M′ d'affixe z′ l'image de M par R, et soit D le point d'affixe d=−3−4i. (La question 1 est indépendante de ces données.)
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−6z+13=0.0.75
2. a)Écrire c−ba−b sous forme trigonométrique.0.5
2. b)En déduire la nature du triangle ABC.0.5
3. a)Écrire z′ en fonction de z.0.5
3. b)Vérifier que C est l'image de A par R.0.25
4. a)Montrer que les points A, C et D sont alignés.0.5
4. b)Déterminer le rapport de l'homothétie h de centre C et qui transforme A en D.0.5
4. c)Déterminer l'affixe m du point E pour que le quadrilatère BCDE soit un parallélogramme.0.5
5. a)Montrer que d−am−b est un nombre réel.0.5
5. b)En déduire que le quadrilatère ABED est un trapèze isocèle.0.5
Exercice 3 — Analyse
3 pt(s)
On considère la fonction numérique h définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x)=x+ln x.
1.Montrer que la fonction h est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.0.5
2.Déterminer h(]0 ; +∞[).0.5
3. a)En déduire que l'équation h(x)=0 admet une solution unique α sur ]0 ; +∞[.0.5
3. b)Montrer que 0<α<1.0.5
4. a)Vérifier que h(1α)=α+1α.0.5
4. b)En déduire que h(1α)>2.0.5
Problème — Analyse
8 pt(s)
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : f(x)=2−xe−x+1 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
1.Calculer limx→+∞f(x) et interpréter le résultat géométriquement.0.5
2. a)Calculer limx→−∞f(x).0.5
2. b)Montrer que limx→−∞f(x)x=−∞ et interpréter le résultat géométriquement.0.75
3. a)Montrer que pour tout x de ℝ : f′(x)=(x−1)e−x+1.0.75
3. b)Dresser le tableau de variations de la fonction f.0.5
4. a)Calculer f″(x) pour tout x de ℝ.0.5
4. b)Montrer que la courbe (C) admet un point d'inflexion d'abscisse 2.0.5
5.Construire la courbe (C) dans le repère (O,i,j) (on prend : f(2)≃1,25).1
6.Déterminer la valeur minimale de la fonction f et en déduire que pour tout x de ℝ, ex−1≥x.0.5
7. a)En utilisant une intégration par parties, calculer : ∫02xe−x dx.0.5
7. b)En déduire que ∫02f(x) dx=4−e+3e−1.0.5
8. a)Soit g la restriction de f à l'intervalle ]−∞,1]. Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un intervalle J à déterminer.0.5
8. b)Construire la courbe représentative de g−1 dans le même repère (O,i,j).0.75
8. c)À partir de la courbe représentative de g−1, déterminer limx→+∞(g−1(x)x).0.25