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Sujet national
National 2020 · PC · SVT · session rattrapage
Exercice 1 — Analyse
2 pt(s)Soit (un) la suite numérique définie par : u0=1 et un+1=3un−82un−5 pour tout n de ℕ.
1.Montrer que pour tout n de ℕ, un<2.0.5
2. a)On pose pour tout n de ℕ, vn=un−3un−2. Montrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 2.0.5
2. b)Écrire vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n pour tout n de ℕ.0.75
2. c)Calculer la limite de la suite (un).0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
5 pt(s)1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−√2z+1=0.0.75
2. a)On pose a=√22+√22i. Écrire a sous forme trigonométrique et en déduire que a2020 est un nombre réel.0.75
2. b)Soit le nombre complexe b=cosπ8+isinπ8. Prouver que b2=a.0.5
3. a)Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c tel que c=1. La rotation R de centre O et d'angle π8 transforme le point M d'affixe z au point M′ d'affixe z′. Vérifier que z′=bz.0.25
3. b)Déterminer l'image de C par la rotation R et montrer que A est l'image de B par R.0.5
4. a)Montrer que |a−b|=|b−c| et en déduire la nature du triangle ABC.0.75
4. b)Déterminer une mesure de l'angle (BA,BC).0.5
5. a)Soit T la translation de vecteur u et D l'image de A par T. Vérifier que l'affixe de D est b2+1.0.25
5. b)Montrer que b2+1b=b+b et en déduire que les points O, B et D sont alignés.0.75
Exercice 3 — Analyse
4 pt(s)On considère la fonction numérique u définie sur ℝ par : u(x)=ex−2x+2−3e−x.
1. a)Montrer que pour tout x de ℝ, u′(x)=(ex−1)2+2ex.0.5
1. b)Poser le tableau de variation de la fonction u (sans calcul de limite).0.25
1. c)En déduire le signe de la fonction u sur ℝ (remarquer que u(0)=0).0.5
2. a)Soit la fonction V définie sur ℝ par V(x)=e2x−2xex+2ex−3. Vérifier que pour tout x de ℝ, V(x)=exu(x).0.5
2. b)En déduire le signe de la fonction V sur ℝ.0.5
3. a)Montrer que la fonction W définie par W(x)=12e2x+(4−2x)ex−3x est une primitive de la fonction V sur ℝ.0.5
3. b)Calculer l'intégrale ∫02V(x) dx.0.5
3. c)Montrer que 92 est le minimum absolu de la fonction W sur ℝ.0.75
Problème — Analyse
9 pt(s)Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par : g(x)=e1−x+1x−2.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par : f(x)=(1−x)e1−x−x2+5x−3−2ln x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 2 cm).
Partie III
On pose h(x)=f(x)−x pour tout x de l'intervalle [1,2].
1.Montrer que g′(x)<0, pour tout x∈]0,+∞[.0.5
2.Déduire le tableau de signe de g(x) sur l'intervalle ]0,+∞[ (remarquer que g(1)=0).0.5
1.Montrer que limx→0+f(x)=+∞ puis interpréter le résultat géométriquement.0.5
2. a)Montrer que limx→+∞f(x)=−∞.0.5
2. b)Montrer que limx→+∞f(x)x=−∞ puis interpréter le résultat géométriquement.0.75
3. a)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, f′(x)=(x−2)g(x).1
3. b)Montrer que la fonction f est décroissante sur ]0,1] et sur [2,+∞[ et croissante sur [1,2].0.75
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ]0,+∞[ (on admet f(2)≃1,25).0.25
4.Sachant que f(3)≃0,5 et f(4)≃−1,9, montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique dans l'intervalle ]3,4[.0.5
5.Construire (C) dans le repère (O,i,j).1
1. a)À partir du tableau de variations de la fonction h ci-contre, montrer que f(x)≤x pour tout x de l'intervalle [1,2].0.5
1. b)Montrer que 1 est l'unique solution de l'équation f(x)=x sur l'intervalle [1,2].0.25
2. a)Soit (un) la suite numérique définie par : u0=2 et un+1=f(un) pour tout n de ℕ. Montrer par récurrence que 1≤un≤2 pour tout n de ℕ.0.75
2. b)Montrer que la suite (un) est décroissante.0.5
2. c)En déduire que la suite (un) est convergente et calculer limn→+∞un.0.75
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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