fhamtha.ma › المواضيع › National 2017 · PC · SVT · session rattrapage
موضوع وطني
National 2017 · PC · SVT · session rattrapage
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k). نعتبر الفلكة (S) التي معادلتها x2+y2+z2−2x−2y−2z−1=0 و المستوى (P) الذي معادلته y−z=0.
1. a)بين أن مركز الفلكة (S) هو النقطة Ω(1,1,1) و شعاعها هو 2.0.5
1. b)احسب d(Ω,(P)) و استنتج أن المستوى (P) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة (C).0.5
1. c)حدد مركز و شعاع الدائرة (C).0.5
2. a)ليكن (Δ) المستقيم المار من النقطة A(1,−2,2) و العمودي على المستوى (P). بين أن u(0,1,−1) متجهة موجهة للمستقيم (Δ).0.25
2. b)بين أن ‖ΩA∧u‖=√2‖u‖ و استنتج أن المستقيم (Δ) يقطع الفلكة (S) في نقطتين.0.75
2. c)حدد مثلوث إحداثيات كل نقطة من نقطتي تقاطع المستقيم (Δ) و الفلكة (S).0.5
Exercice 2 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)يحتوي صندوق على 10 كرات لا يمكن التمييز بينها باللمس : خمس كرات بيضاء و ثلاث كرات حمراء و كرتان خضراوان (انظر الشكل جانبه). نسحب عشوائيا و في آن واحد أربع كرات من الصندوق.
1.نعتبر الحدث A : « من بين الكرات الأربع المسحوبة توجد كرة خضراء واحدة فقط » و الحدث B : « من بين الكرات الأربع المسحوبة توجد بالضبط ثلاث كرات من نفس اللون ». بين أن p(A)=815 وأن p(B)=1970.1.5
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الخضراء المسحوبة. بين أن p(X=2)=215.0.5
2. b)حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X و بين أن الأمل الرياضي E(X) يساوي 45.1
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3 pt(s)1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : z2+4z+8=0.0.75
2. a)نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، النقط A و B و C اللتي ألحاقها على التوالي هي a و b و c بحيث a=−2+2i و b=4−4i و c=4+8i. ليكن z لحق نقطة M من المستوى و z′ لحق النقطة M′ صورة M بالدوران R الذي مركزه A و زاويته −π2. بين أن z′=−iz−4.0.5
2. b)تحقق من أن النقطة B هي صورة النقطة C بالدوران R و استنتج طبيعة المثلث ABC.0.75
3. a)ليكن ω لحق النقطة Ω منتصف القطعة [BC]. بين أن |c−ω|=6.0.5
3. b)بين أن مجموعة النقط M ذات اللحق z بحيث |z−ω|=6 هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.0.5
Exercice 4 — التحليل
2.5 pt(s)نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=17 و un+1=14un+12 لكل n من ℕ.
1. a)بين بالترجع أن un>16 لكل n من ℕ.0.5
1. b)بين أن المتتالية (un) تناقصية و استنتج أن المتتالية (un) متقاربة.0.5
2. a)لتكن (vn) المتتالية العددية بحيث vn=un−16 لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية.0.5
2. b)استنتج أن un=16+(14)n لكل n من ℕ ثم حدد نهاية المتتالية (un).0.5
2. c)حدد أصغر قيمة للعدد الصحيح الطبيعي n التي يكون من أجلها un<16,0001.0.5
Problème — التحليل
8.5 pt(s)Partie I
I) لتكن g الدالة العددية المعرفة على ℝ بما يلي : g(x)=1−(x+1)2ex.
Partie II
II) نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=x+1−(x2+1)ex و ليكن (Cf) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 2 cm).
1.تحقق من أن g(0)=0.0.25
2.انطلاقا من التمثيل المبياني (Cg) للدالة g (انظر الشكل جانبه) بين أن g(x)≥0 لكل x من ]−∞,0] وأن g(x)≤0 لكل x من [0,+∞[.1
1. a)تحقق من أن f(x)=x+1−4(x2ex2)2−ex لكل x من ℝ ثم استنتج أن limx→−∞f(x)=−∞.0.75
1. b)احسب limx→−∞[f(x)−(x+1)] واستنتج أن المستقيم (D) ذا المعادلة y=x+1 مقارب للمنحنى (Cf) بجوار −∞.0.5
1. c)بين أن المنحنى (Cf) يوجد تحت المستقيم (D).0.25
2. a)بين أن limx→+∞f(x)=−∞ (يمكنك كتابة f(x) على الشكل x[1+1x−(x+1x)ex]).0.5
2. b)بين أن المنحنى (Cf) يقبل بجوار +∞، فرعا شلجميا يتم تحديد اتجاهه.0.25
3. a)بين أن f′(x)=g(x) لكل x من ℝ.0.75
3. b)بين أن الدالة f تزايدية على ]−∞,0] و تناقصية على [0,+∞[ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f على ℝ.0.75
3. c)بين أن المنحنى (Cf) يقبل نقطتي انعطاف أفصولاهما −3 و −1.0.75
4.أنشئ، في نفس المعلم (O,i,j)، المستقيم (D) و المنحنى (Cf) (نأخذ f(−3)≈−2,5 و f(−1)≈−0,75).1
5. a)تحقق من أن H:x↦(x−1)ex هي دالة أصلية للدالة h:x↦xex على ℝ ثم بين أن ∫−10xex dx=2e−1.0.5
5. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن ∫−10(x2+1)ex dx=3(1−2e).0.75
5. c)احسب، بـ cm2، مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (Cf) و المستقيم (D) و محور الأراتيب و المستقيم الذي معادلته x=−1.0.5
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح