Sujet national
National 2012 · PC · SVT · session rattrapage
RS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(−3,0,0), B(0,0,−3) et C(0,2,−2), et la sphère (S) de centre Ω(1,1,1) et de rayon 3.
1. a)Montrer que AB∧AC=6i−3j+6k puis en déduire que 2x−y+2z+6=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).1.25
1. b)Calculer d(Ω,(ABC)) et en déduire que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S).0.75
2. a)Soit (D) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (ABC). Montrer que x=1+2ty=1−tz=1+2t (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (D).0.5
2. b)Montrer que le triplet de coordonnées du point H, point de contact du plan (ABC) et de la sphère (S), est (−1,2,−1).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B et C d'affixes respectives a=2−i, b=6−7i et c=8+3i.
1. a)Montrer que c−ab−a=i.0.75
1. b)En déduire que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A.0.75
2. a)Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′, image de M par la rotation R de centre le point Ω, milieu du segment [BC], et d'angle −π2. Vérifier que l'affixe du point Ω est ω=7−2i.0.5
2. b)Montrer que z′=−iz+9+5i.0.75
2. c)Montrer que le point C est l'image du point A par la rotation R.0.25
Exercice 3 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par :un+1=4un+33un+4 pour tout n de ℕ, et u0=3.
1.Montrer par récurrence que un>1 pour tout n de ℕ.0.5
2. a)On considère la suite numérique (vn) définie par :vn=un−1un+1 pour tout n de ℕ.Vérifier que 1−vn=2un+1 pour tout n de ℕ, puis en déduire que 1−vn>0 pour tout n de ℕ.0.5
2. b)Montrer que un=1+vn1−vn pour tout n de ℕ.0.5
3. a)Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 17 et écrire vn en fonction de n.1
3. b)Montrer que limn→+∞vn=0 puis en déduire la limite de la suite (un).0.5
Exercice 4 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient cinq boules rouges, quatre boules blanches et trois boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de la boîte.
1.Montrer que la probabilité d'obtenir trois boules rouges est 122.1
2.Montrer que la probabilité d'obtenir trois boules de la même couleur est 344.1
3.Montrer que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge est 3744.1
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par :f(x)=x+ex−1ex+1.Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j).
1.Montrer que f(−x)=−f(x) pour tout x de ℝ et en déduire que le point O est un centre de symétrie de la courbe (C).0.75
2.Vérifier que f(x)=x+1−2ex+1 pour tout x de ℝ. (Il est conseillé d'utiliser cette écriture de f(x) pour traiter les questions suivantes.)0.5
3. a)Montrer que f′(x)=1+2ex(ex+1)2 pour tout x de ℝ et vérifier que f′(0)=32.1.25
3. b)Montrer que la fonction f est croissante sur ℝ.0.5
3. c)Montrer que y=32x est une équation cartésienne de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point O.0.5
4. a)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞.0.5
4. b)Calculer limx→+∞(f(x)−(x+1)) et en déduire que la droite (D) d'équation y=x+1 est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞.0.5
4. c)Montrer que la courbe (C) est située en dessous de la droite (D).0.25
5.Construire les droites (D) et (T) et la courbe (C) dans le repère (O,i,j) (on rappelle que O est un centre de symétrie de (C)).1.5
6. a)Montrer que la fonction H:x↦x−ln(ex+1) est une primitive de la fonction h:x↦1ex+1 sur ℝ.0.75
6. b)En déduire que ∫0ln 21ex+1 dx=ln 4−ln 3.0.5
6. c)Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations x=0 et x=ln 2.0.5