Sujet national
National 2012 · PC · SVT · session normale
NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(1,1,−1), B(0,1,−2) et C(3,2,1), et la sphère (S) d'équation : x2+y2+z2−2x−2z−1=0.
1.Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,0,1) et pour rayon √3.0.5
2. a)Montrer que AB∧AC=i−k et vérifier que x−z−2=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.75
2. b)Vérifier que d(Ω,(ABC))=√2 puis montrer que le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ) de rayon 1.1
3. a)Soit (Δ) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (ABC). Montrer que x=1+ty=0z=1−t (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ).0.25
3. b)Montrer que le triplet de coordonnées du point H, point d'intersection du plan (ABC) et de la droite (Δ), est (2,0,0).0.25
3. c)En déduire le centre du cercle (Γ).0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2). À la question 2, on considère les points A, B et C d'affixes respectives a=6−5i, b=4−2i et c=2+i.
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−12z+61=0.0.75
2. a)Calculer a−cb−c et en déduire que les points A, B et C sont alignés.0.5
2. b)On considère la translation T de vecteur u d'affixe 1+5i. Vérifier que l'affixe du point D, image du point C par la translation T, est d=3+6i.0.5
2. c)Montrer que d−cb−c=−1+i et que 3π4 est un argument du nombre complexe −1+i.0.75
2. d)En déduire une mesure de l'angle orienté (CB,CD).0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Un sac contient huit jetons indiscernables au toucher : un jeton porte le nombre 0, cinq jetons portent le nombre 1 et deux jetons portent le nombre 2. On tire au hasard et simultanément trois jetons du sac, et on considère les événements suivants : A : « obtenir trois jetons portant des nombres deux à deux différents » ; B : « la somme des nombres portés par les trois jetons tirés est égale à 5 » ; C : « la somme des nombres portés par les trois jetons tirés est égale à 4 ».
1.Montrer que P(A)=528.1
2.Montrer que P(B)=556.1
3.Montrer que P(C)=38.1
Exercice 4 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par :un+1=1011un+1211 pour tout n de ℕ, et u0=11.
1.Vérifier que un+1−12=1011(un−12) pour tout n de ℕ.0.25
2. a)Montrer par récurrence que un<12 pour tout n de ℕ.0.5
2. b)Montrer que la suite (un) est strictement croissante.0.5
2. c)En déduire que la suite (un) est convergente.0.25
3. a)Soit (vn) la suite numérique définie par :vn=un−12 pour tout n de ℕ.Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1011 puis écrire vn en fonction de n.0.75
3. b)Montrer que un=12−(1011)n pour tout n de ℕ puis calculer limn→+∞un.0.75
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
Partie I
I — On considère la fonction numérique g définie sur ]0,+∞[ par :g(x)=x2−1+2x2ln x.
Partie II
II — On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par :f(x)=(x2−1)ln x.Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 3 cm). La fonction g est celle de la partie I.
1.Montrer que x2−1 et 2x2ln x ont le même signe sur ]0,1[ puis en déduire que g(x)≤0 pour tout x de ]0,1].0.75
2.Montrer que x2−1 et 2x2ln x ont le même signe sur ]1,+∞[ puis en déduire que g(x)≥0 pour tout x de [1,+∞[.0.75
1. a)Montrer que limx→0 x>0f(x)=+∞ et interpréter géométriquement ce résultat.0.5
1. b)Calculer limx→+∞f(x), puis montrer que limx→+∞f(x)x=+∞ et en déduire que la courbe (C) admet, au voisinage de +∞, une branche parabolique dont on déterminera la direction.1
2. a)Montrer que f′(x)=g(x)x pour tout x de ]0,+∞[, et interpréter géométriquement le résultat f′(1)=0.1.25
2. b)En déduire que la fonction f est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+∞[.0.5
2. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ]0,+∞[ puis montrer que f(x)≥0 pour tout x de ]0,+∞[.0.5
3.Construire la courbe (C) dans le repère (O,i,j).1
4. a)Montrer que la fonction u:x↦x33−x est une primitive de la fonction v:x↦x2−1 sur ℝ.0.5
4. b)À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : ∫12(x2−1)ln x dx=29(1+3ln 2).1
4. c)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=2.0.25