National 2024 · STE · STM · session rattrapage

L'acide azélaïque est un composé organique de formule C₉H₁₆O₄ ; on le trouve dans le blé, le seigle et l'orge. Il est un précurseur de divers produits industriels et également un composant de certains produits de soin de la peau. On utilisera la notation simplifiée AH pour cet acide et A⁻ pour sa base conjuguée. Cet exercice vise l'étude d'une solution aqueuse d'acide azélaïque et la vérification du pourcentage d'acide azélaïque dans un produit cosmétique.

Partie 1 — Étude d'une solution aqueuse d'acide azélaïque

On prépare une solution aqueuse d'acide azélaïque en dissolvant la masse m=0,188 g de cet acide dans le volume V=100 mL d'eau distillée ; la mesure de pH de la solution à 25 °C donne pH=3,28. Donnée : M(AH)=188 g·mol⁻¹.

Partie 2 — Vérification du pourcentage d'acide azélaïque dans un produit cosmétique

On dispose d'un produit cosmétique conçu pour le traitement de l'acné et de la rosacée en application topique. L'étiquette du produit porte l'indication « Acide Azélaïque 10 % » (figure 1), qui désigne le pourcentage massique de l'acide azélaïque dans le produit. La figure 1 est la PHOTOGRAPHIE du produit : un tube souple blanc, debout, dont l'étiquette porte, en gros, la marque, puis « AZELAIC ACID 10 % », puis la mention « BRIGHTENING SOLUTION », et enfin, en petit et en bas, la contenance « 30 ml / 1 fl.oz. ». Rien d'autre n'y est lisible. Afin de vérifier l'indication précédente, on prépare une solution aqueuse (S) de concentration molaire C et de volume V=100 mL en dissolvant la masse m_produit=1,88 g du produit cosmétique dans l'eau distillée. On réalise le dosage du volume V_A=10 mL de la solution (S) par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=10⁻² mol·L⁻¹, en utilisant le montage de la figure 2. La figure 2 est le schéma de ce montage, dessiné de profil, avec trois repères numérotés fléchés : le 2 désigne le tube vertical gradué, tenu par une pince sur un statif et fermé en bas par un robinet ; le 1 désigne le boîtier de mesure posé à gauche, marqué « pH » et dont l'afficheur montre 4,40, relié par un câble à la sonde plongée dans le récipient ; le 3 désigne le récipient posé sur un agitateur magnétique, sous le robinet. La courbe de la figure 3 représente les variations du pH du mélange en fonction du volume V_B de la solution (S_B) ajoutée : c'est une courbe en S, qui part du bas à gauche, monte doucement, se redresse en un saut presque vertical un peu après le milieu du graphe, puis se couche et remonte lentement jusqu'au bord droit. Le sujet y a déjà tracé, en pointillés et de part et d'autre du saut, les deux droites parallèles de la méthode des tangentes — l'une en haut à gauche du saut, l'autre en bas à droite. L'axe des ordonnées pH porte la graduation 2 sur son premier trait fort, et l'axe des abscisses V_B, en millilitres, les graduations 0 et 4, cette dernière sur son premier trait fort.

Les isotopes d'un radioélément diffèrent par le nombre de nucléons, leurs propriétés et leur stabilité. Ils jouent un rôle important dans la vie courante, que ce soit en datation, en médecine ou en industrie. L'or ¹⁹⁸₇₉Au est un radioisotope de l'or ; il se désintègre en mercure ^A_ZHg par émission β⁻. Cette radioactivité est notamment utilisée dans le traitement contre certains cancers ou pour traiter d'autres maladies. Pour évaluer l'efficacité thérapeutique de l'or 198, une équipe de recherche a porté son attention sur un groupe de souris souffrantes d'un cancer de la prostate sévère en leur injectant une dose d'¹⁹⁸₇₉Au. Données : un tableau donne les masses, en unités u — noyau ¹⁹⁸₇₉Au : 197,968225 ; noyau ^A_ZHg : 197,966769 ; proton : 1,007276 ; neutron : 1,008665 ; électron : 5,49·10⁻⁴. Le même tableau donne l'énergie de liaison par nucléon E_ℓA(^A_ZHg)=8,4 MeV par nucléon, l'équivalence 1u=931,5 MeV·c⁻², et la demi-vie t_1/2(¹⁹⁸₇₉Au)=2,7 jours. On injecte à une souris à t₀=0 une dose radioactive d'or 198 d'activité a₀=5·10⁶ Bq ; après 28 jours de l'injection, le volume de la tumeur devient plus faible.

La charge et la décharge d'un condensateur sont deux phénomènes électriques dont chacun est régi par une équation décrivant l'évolution de la tension aux bornes du condensateur. Lorsque le condensateur est associé à une bobine, le circuit LC obtenu peut être siège d'oscillations électriques selon un régime donné. Cet exercice vise l'étude de la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ascendant et l'étude énergétique d'un circuit oscillant LC.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ascendant

Un générateur de tension, de force électromotrice E, alimente un conducteur ohmique de résistance R=100 Ω et un condensateur de capacité C. Un oscilloscope numérique est utilisé pour suivre l'évolution temporelle des deux tensions en voie 1 et en voie 2 (figure 1). La figure 1 est le schéma de ce montage : le générateur E occupe la branche de gauche, son pôle bas relié au point A, qui est à la masse — le symbole de masse y est dessiné ; l'interrupteur K est en haut ; le point D, à droite de K, est relié à la sortie « Voie 1 » ; du point D descend le conducteur ohmique R jusqu'au point B, relié à la sortie « Voie 2 » ; et du point B le condensateur C revient vers A, le courant i étant fléché de B vers A. Le condensateur étant préalablement déchargé, à l'instant t₀=0 on ferme l'interrupteur K ; les évolutions temporelles des deux tensions sont traduites par les courbes données par la figure 2. Sur cette figure, le tracé repéré ❷ est une horizontale, posée sur le sixième trait du quadrillage et suivie d'un bout à l'autre du graphe ; le tracé repéré ❶ part de l'origine, monte en s'infléchissant et vient se coucher sur ce même niveau aux deux tiers du graphe. Un segment en pointillés, tangent au tracé ❶ à l'origine, monte jusqu'au niveau de ❷. L'axe des ordonnées u, en volts, porte la graduation 2 sur son deuxième trait, et l'axe des abscisses t, en millisecondes, les graduations 0 et 0,3, cette dernière sur son deuxième trait. L'expression de l'intensité i(t) du courant qui traverse le circuit se choisit ensuite parmi A i(t)=0,06 e^{−3333,3 t} A, B i(t)=−0,06 e^{−3333,3 t} A, C i(t)=0,6 e^{−3333,3 t} A, D i(t)=6 e^{−3333,3 t} A.

Partie 2 — Étude énergétique d'un circuit oscillant LC

On considère le circuit de la figure 3 tel que E=10 V et C=3 μF ; la résistance du générateur et celle de la bobine sont supposées négligeables. La figure 3 est le schéma de ce circuit : le générateur E occupe la branche de gauche, l'interrupteur K est en haut au milieu avec ses deux positions notées (1) et (2), la branche centrale porte le condensateur C, où le courant i est fléché vers le bas, et la branche de droite porte la bobine L. On place l'interrupteur K en position (1) ; lorsque le condensateur est totalement chargé, on bascule K en position (2) à l'instant t₀=0. La figure 4 donne les variations de l'une des formes d'énergie — l'énergie électrique E_e emmagasinée dans le condensateur, l'énergie magnétique E_m emmagasinée dans la bobine, ou l'énergie totale E du circuit : la courbe part d'un maximum à t=0, redescend jusqu'à toucher l'axe des temps, remonte au même maximum, et ainsi de suite, en bosses identiques qui ne s'atténuent pas — quatre bosses sont visibles. L'axe des ordonnées, en 10⁻⁵ J, porte la graduation 3 sur son deuxième trait, et l'axe des abscisses t, en millisecondes, les graduations 0 et 1, cette dernière sur son premier trait.

Dans la vie courante, un certain nombre de systèmes mécaniques sont utilisés et modélisés. Les mouvements de ces systèmes peuvent être identifiés à la suite d'une étude dynamique, ce qui permet de déterminer des grandeurs dynamiques et cinématiques caractérisant ces mouvements. On se propose dans cet exercice d'étudier deux exemples de systèmes mécaniques modélisés.

Partie 1 — Étude du mouvement d'un skeletoneur

Le skeleton est un sport d'hiver qui se pratique individuellement sur une planche où le skeletoneur se place à plat ventre, la tête devant ; l'objectif est de parcourir la piste le plus rapidement possible. On se propose d'étudier le mouvement du centre d'inertie G d'un skeletoneur, de masse m, sur une partie d'une piste rectiligne inclinée d'un angle α par rapport à l'horizontal. L'étude est réalisée dans un repère (O,i,j) lié à la Terre supposé galiléen. On choisit l'instant de passage de G en O comme origine de temps t₀=0 ; on repère la position de G à un instant t par son abscisse x_G dans ce repère (figure 1). La figure 1 montre la piste qui DESCEND de la gauche vers la droite : le point O est en haut à gauche, avec le vecteur unitaire i dirigé vers le bas de la pente et le vecteur j perpendiculaire à elle, vers le haut ; le skeletoneur est dessiné couché sur sa planche, un peu plus bas ; le point A est marqué au-delà ; une droite horizontale ferme la figure en bas, et l'angle α est marqué entre elle et la piste. Le skeletoneur arrive au point de départ O avec la vitesse V₀=V₀ i, il passe ensuite par la position A avec une vitesse V_A. Le contact avec le plan incliné se fait avec frottement modélisé par une force f parallèle au plan, de sens opposé au sens de mouvement et d'intensité constante f. Données : g=9,8 m·s⁻² ; α=10° ; m=80 kg ; V_A=30 m·s⁻¹. La courbe de la figure 2 donne l'évolution de la vitesse v de G au cours du temps : c'est une droite montante de faible pente, qui traverse tout le quadrillage de la gauche vers la droite en partant du bord gauche, nettement au-dessus de l'axe des abscisses. L'axe des ordonnées v, en m·s⁻¹, porte la graduation 3, et l'axe des abscisses t, en secondes, les graduations 0 et 0,2, cette dernière sur son premier trait.

Partie 2 — Étude du mouvement du système oscillant (solide-ressort)

On considère le système oscillant solide-ressort, où m désigne la masse du solide et K la raideur du ressort ; on étudie le mouvement de G dans un repère (O,i) lié à la Terre supposé galiléen (figure 3). La figure 3 montre le ressort tendu horizontalement entre un mur hachuré à gauche et le solide (S) à droite, sur lequel est marqué son centre G ; sous le solide, l'axe horizontal porte l'origine O et le vecteur unitaire i, et un trait en tirets descend de G jusqu'à O. On écarte (S) de sa position d'équilibre d'une distance X_m dans le sens opposé de i puis on l'abandonne sans vitesse initiale à l'instant t₀=0 ; le solide (S) oscille sans frottement sur le plan horizontal. L'équation horaire du mouvement de G est x(t)=5·10⁻²cos(4 t + π) en mètres. Donnée : m=1,25 kg.