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L'acide butanoïque est utilisé dans l'industrie alimentaire pour ses propriétés aromatisantes, en parfumerie et en cosmétique pour ses bienfaits sur la peau. Il possède des propriétés anti-inflammatoires. On se propose dans cet exercice d'étudier une solution aqueuse d'acide butanoïque, et la réaction de l'acide butanoïque avec le méthanol.

Partie 1 — Réaction de l'acide butanoïque avec l'eau

On prépare une solution aqueuse S_A d'acide butanoïque C₃H₇COOH, de volume V et de concentration C_A=5,40×10⁻³ mol.L⁻¹. La mesure de son pH donne pH=3,55.

Partie 2 — Réaction de l'acide butanoïque avec le méthanol

La réaction de l'acide butanoïque avec le méthanol CH₃OH permet d'obtenir, en plus de l'eau, un composé organique E caractérisé par son odeur et son goût agréables. Pour synthétiser le composé E, on prépare 10 tubes à essais et on introduit à un instant t=0 dans chacun d'eux n₀=0,10 mol de l'acide butanoïque et n₀=0,10 mol du méthanol avec quelques gouttes d'acide sulfurique concentré. On trempe les tubes dans un bain marie à la température constante θ. L'évolution de la réaction est suivie par dosage, à des instants bien déterminés, de l'acide butanoïque restant dans chaque tube à essai : à chaque instant on retire un tube du bain marie, on le trempe dans l'eau glacée, puis on dose l'acide restant par une solution d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration C_b=2,0 mol.L⁻¹. Pour chaque tube on détermine le volume V_BE d'hydroxyde de sodium versé pour atteindre l'équivalence. Lors du dosage on ne considère que la réaction entre l'hydroxyde de sodium et l'acide restant. Les résultats obtenus ont permis de tracer la courbe qui représente l'évolution temporelle de n_ac, la quantité de matière de l'acide butanoïque restant : l'axe des ordonnées porte n_ac en mmol avec les graduations 20 et 33, l'axe des abscisses t en minutes avec la graduation 30 ; la courbe part d'un maximum à t=0, décroît en s'infléchissant et tend vers une asymptote horizontale d'ordonnée 33 mmol.

Désintégration du soufre 35. Le soufre 35 est un isotope radioactif du soufre. Il est utilisé en recherche médicale et biologique. Ses caractéristiques sont déterminantes pour le traitement des déchets contenant du soufre 35. On a un échantillon de soufre 35 de masse initiale m₀ à un instant t=0. Le soufre ³⁵₁₆S est radioactif β⁻ : il se désintègre en donnant le noyau ^A_ZY et une particule ^A′_Z′e. Données — extrait de la classification périodique des éléments chimiques : ₁₃Al, ₁₄Si, ₁₅P, ₁₆S, ₁₇Cl, ₁₈Ar ; masses m(³⁵₁₆S)=34,96027 u, m(^A_ZY)=34,95954 u, m(^A′_Z′e)=5,48560×10⁻⁴ u ; 1 u=931,5 MeV.c⁻². Une courbe donne l'évolution temporelle de l'activité de l'échantillon : l'axe des ordonnées porte a en ×10¹⁶ Bq avec la graduation 2, l'axe des abscisses t en jours avec la graduation 100 ; la courbe part d'un maximum à t=0 et décroît en s'aplatissant vers l'axe des abscisses.

Les parties I et II sont indépendantes. On se propose, dans la partie I de cet exercice, de déterminer quelques grandeurs caractéristiques des éléments d'un circuit électrique, en étudiant la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension. On étudiera dans la partie II la transmission et la réception d'un signal.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

Le montage de la figure 1 comporte un générateur idéal de tension de f.é.m. E, un conducteur ohmique de résistance R, une bobine d'inductance L et de résistance r et un interrupteur K ; les valeurs de E, R et L sont ajustables. Sur la figure 1, le générateur E occupe la branche de gauche, l'interrupteur K le haut du circuit et la bobine (L, r) la branche de droite, le conducteur ohmique réglable R fermant le bas du circuit, la tension u_R étant fléchée à ses bornes et le courant i orienté en haut à gauche. À un instant choisi comme origine des dates (t=0), on ferme K. Un système d'acquisition adéquat a permis d'obtenir les courbes représentant l'évolution temporelle de la tension u_R aux bornes du conducteur ohmique (figure 2) selon les valeurs de E, R et L indiquées dans un tableau : expérience (1) E=9 V, R=80 Ω, L=L₁ ; expérience (2) E=4,5 V, R=80 Ω, L=L₂ ; expérience (3) E=6,4 V, R=150 Ω, L=L₃. (T) représente la tangente à la courbe (b) au point d'abscisse t=0. Sur la figure 2, l'axe des ordonnées porte u_R en V avec les graduations 2 et 4, l'axe des abscisses t en ms avec les graduations 1,25 et 2,5 ; trois courbes croissent depuis l'origine vers trois asymptotes horizontales, (a) vers la plus haute, (b) au milieu et (c) vers la plus basse, et la tangente (T) à la courbe (b) à l'origine est tracée.

Partie 2 — Transmission et réception d'un signal

Le montage de la figure 3 permet d'obtenir un signal modulé en amplitude et de le transmettre à travers une antenne ; l'expression de la tension u_s(t) associée à ce signal modulé en amplitude s'écrit u_s(t)=A [1 + mcos(2πf t)]cos(2πF t), avec f la fréquence du signal informatif, F la fréquence de la porteuse, m le taux de modulation et A une constante positive. La figure 3 montre le circuit multiplieur X dont les entrées E₁ et E₂ reçoivent respectivement u₁(t) et u₂(t), la masse en bas, et la sortie S reliée à une antenne qui émet u_s(t). Le circuit du schéma de la figure 4 permet la réception, la sélection du signal modulé ainsi que sa démodulation : une antenne alimente un circuit bouchon fait de la bobine L₀ et du condensateur variable C, le point A précède la diode D, puis viennent le conducteur ohmique variable R en parallèle avec le condensateur C′, le point Q, le condensateur C₁, le conducteur ohmique R₁ et le point T, la masse du circuit étant le point M. Les oscillogrammes de la figure 5 visualisés correspondent aux tensions u_AM, u_QM et u_TM : trois oscillogrammes (a), (b) et (c), chacun calibré 1 V verticalement et 0,4 ms horizontalement — (a) est une sinusoïde lente centrée sur zéro, (b) une oscillation rapide dont l'enveloppe bat, (c) une sinusoïde lente de même période que (a) mais d'amplitude plus grande.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1 — Saut sans parachute

Le 30 juillet 2016, un cascadeur accomplit un saut à une altitude H=7620 m du sol sans parachute ou combinaison qui peut l'aider. Pour éviter sa collision au sol, un filet de réception a été fixé à une altitude h=70 m du sol. Le cascadeur a été guidé vers le filet par des parachutistes. Après sa chute, il a atteint rapidement une vitesse limite de 200 km.h⁻¹. On modélise le cascadeur par un corps (S) de masse m et de centre d'inertie G qui réalise un saut vertical. L'étude du mouvement de (S) s'effectue dans un repère R(O, k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen ; on repère à chaque instant t la position de G par sa cote z sur l'axe vertical (O, k) orienté vers le bas (figure 1). À l'instant t=0, on considère que la cote de G et sa vitesse sont nulles. On néglige la poussée d'Archimède devant les autres forces. La figure 1 montre le point O en haut avec le vecteur k dirigé vers le bas et le corps (S) de centre G juste à côté, la hauteur H cotée par une double flèche de O jusqu'au sol hachuré en bas, le filet de réception figuré en pointillés, et la hauteur h cotée entre le filet et le sol, la cote z étant portée à droite. On étudie le mouvement du cascadeur dans deux cas : les frottements avec l'air sont négligeables (chute libre) ; les frottements ne sont pas négligeables. Données : intensité de la pesanteur supposée constante g=9,8 m.s⁻² ; masse du cascadeur et de son équipement m=80 kg. Dans le deuxième cas, le cascadeur est soumis en plus de son poids P à la force de frottement fluide modélisée par f=−μv²·k, avec μ une constante positive et v la vitesse de G à un instant t. La courbe de la figure 2 représente les variations de dv_zdt en fonction de v_z², le carré de la vitesse de G : l'axe des ordonnées porte dv_zdt en m.s⁻² avec les graduations 2 et 4, l'axe des abscisses v_z² en m².s⁻² avec les graduations 800 et 1600 ; la courbe est une droite décroissante.

Partie 2 — Étude d'un système oscillant

Cette partie a pour but l'étude énergétique d'un système oscillant (solide – ressort). Le pendule élastique étudié est composé d'un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m, lié à l'une des extrémités d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K ; l'autre extrémité du ressort est liée à un support fixe. On néglige les frottements et on étudie le mouvement de G dans un repère R(O, i) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen ; on repère la position de G à un instant t par son abscisse x, et à l'équilibre l'abscisse de G est nulle (figure 3). On choisit le plan horizontal passant par G comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0) et l'état dans lequel le ressort n'est pas déformé comme référence de l'énergie potentielle élastique (E_pe=0). La figure 3 montre le support hachuré à gauche, le ressort horizontal, le solide (S) de centre G posé sur le rail, l'axe x orienté vers la droite avec l'origine O et le vecteur i, et l'abscisse x cotée en pointillés. On écarte (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif d'une distance X_m=2 cm et on le lâche sans vitesse initiale à un instant choisi comme origine des dates (t=0). À l'aide d'un système d'acquisition adéquat, on a obtenu les courbes représentant les variations temporelles de l'énergie potentielle élastique E_pe(t) et de l'énergie cinétique E_c(t) du pendule (figure 4) : l'axe des ordonnées porte les énergies en mJ avec la graduation 1,25, l'axe des abscisses t en s avec la graduation 0,1 ; deux courbes C₁ et C₂ oscillent en opposition entre zéro et un même maximum.