National 2025 · SP · session normale

Les deux parties sont indépendantes. Dans cet exercice on se propose d'étudier le dosage d'une solution acide, et le suivi cinétique d'une réaction d'estérification.

Partie 1 — Dosage d'une solution aqueuse d'hydrogénosulfite de sodium

L'hydrogénosulfite de sodium NaHSO₃ est utilisé pour le blanchiment de la pâte à papier. L'étiquette d'un flacon contenant une solution commerciale (S₀) d'hydrogénosulfite de sodium Na⁺_(aq)+HSO⁻_3(aq) porte l'indication 500 g.L⁻¹ ; la concentration molaire de (S₀) est C₀. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; masse molaire de l'hydrogénosulfite de sodium M(NaHSO₃)=104 g.mol⁻¹ ; le couple acide/base HSO⁻_3(aq)/SO²⁻_3(aq) ; pK_A(HSO⁻_3(aq)/SO²⁻_3(aq))=7,2. Cette partie de l'exercice vise à vérifier par dosage acido-basique l'indication 500 g.L⁻¹ inscrite sur l'étiquette de la solution commerciale. Pour vérifier cette indication, on procède comme suit : on dilue 100 fois la solution (S₀) de concentration molaire C₀ et on obtient ainsi une solution (S_A) de concentration molaire C_A ; on prélève un volume V_A=20,0 mL de (S_A) que l'on dose avec une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq)+HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=0,10 mol.L⁻¹. Le volume de la solution (S_B) versé à l'équivalence est V_BE=9,6 mL.

Partie 2 — Suivi cinétique d'une réaction d'estérification

On étudie la cinétique de la réaction entre l'acide éthanoïque CH₃COOH et le propan-1-ol C₂H₅CH₂OH. On réalise cette estérification dans différentes conditions expérimentales. Expérience (1) : on mélange 0,200 mol d'acide éthanoïque avec 0,200 mol de propan-1-ol à la température θ₁. Expérience (2) : on mélange 0,200 mol d'acide éthanoïque avec 0,200 mol de propan-1-ol à la température θ₂, avec θ₂>θ₁. Expérience (3) : on mélange 0,200 mol d'acide éthanoïque avec 0,200 mol de propan-1-ol à la température θ₂, avec ajout de quelques gouttes d'acide sulfurique concentré. Les courbes de la figure ci-contre représentent l'évolution temporelle de l'avancement x de la réaction qui se produit pour chaque condition expérimentale : l'axe des ordonnées porte x en mmol gradué à 0, 26,6 et 53,2, l'axe des abscisses t en minutes à 30 et 60 ; les trois courbes partent de l'origine et montent vers le même palier, à 133 mmol — la courbe (a) est la plus rapide et l'atteint la première, la courbe (b) monte plus lentement et passe par 66,5 mmol vers 90 min, et la courbe (c) est la plus lente des trois.

Désintégration du cadmium 107. On se propose dans cet exercice d'étudier la désintégration du cadmium 107. Le cadmium radioactif ¹⁰⁷₄₈Cd donne, en se désintégrant, le noyau d'argent ¹⁰⁷₄₇Ag et une particule ^A_Ze avec émission d'un rayonnement γ (gamma). Données : masses — m(¹⁰⁷₄₈Cd)=106,88045 u ; m(¹⁰⁷₄₇Ag)=106,87947 u ; m(^A_Ze)=5,486×10⁻⁴ u ; demi-vie du ¹⁰⁷₄₈Cd : t_1/2=6,93 heures ; 1 u=931,49 MeV.c⁻².

Les composantes électroniques telles que les diodes, les bobines, les condensateurs se trouvent dans différents circuits électriques et électroniques de plusieurs appareils électriques qui sont utilisés dans le domaine industriel, de communication, de numérisation. On se propose dans cet exercice d'étudier la charge d'un condensateur et sa décharge dans un dipôle RL, et la sélection et la démodulation d'une onde modulée en amplitude. Le montage électrique représenté par le schéma de la figure 1 comporte un circuit de charge d'un condensateur et un autre de sa décharge : le générateur de courant G et le conducteur ohmique R sont sur la branche de gauche, l'interrupteur K à double position relie le point commun soit à (1), du côté du générateur, soit à (2), du côté de la bobine (b) d'inductance L et de résistance r montée entre N et M ; le condensateur de capacité C₀, aux bornes duquel la tension u_C est repérée et dans lequel le courant i est orienté vers le bas, occupe la branche centrale.

Partie 1 — Charge d'un condensateur par une source de courant

On veut déterminer la capacité C₀ d'un condensateur, initialement déchargé, en utilisant le montage présenté sur la figure 1 ; le générateur de courant G débite un courant électrique d'intensité constante I₀=1 μA. À un instant choisi comme origine des dates (t₀=0), on met l'interrupteur K en position (1). Un système d'acquisition informatisé adéquat permet d'obtenir la courbe d'évolution temporelle de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur lors de sa charge (figure 2) : l'axe des ordonnées porte u_C en V gradué à 0, 2 et 4, l'axe des abscisses t en s à 2 et 4 ; le tracé est une droite qui part de l'origine et passe par le point (4 s ; 4 V).

Partie 2 — Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL

Lorsque la tension entre les bornes du condensateur prend la valeur u_C=U₀=10 V, on bascule l'interrupteur K en position (2) à un instant pris comme nouvelle origine des dates (t₀=0). Un système d'acquisition informatisé adéquat permet d'obtenir la courbe représentant la tension u_C(t) (figure 3) : l'axe des ordonnées porte u_C en V gradué à −4, 0, 4 et 7, l'axe des abscisses est simplement noté t et une double flèche horizontale, en haut à droite, marque un intervalle de 7×10⁻⁵ s ; la courbe part de 10 V à t=0, oscille en changeant de signe avec une amplitude qui décroît, l'écart entre deux maximums successifs valant quatre fois l'intervalle marqué. L'instant t_A, repéré sous l'axe, est celui du premier maximum suivant, où u_C=7 V, et l'instant t_B, repéré juste après, est celui où la courbe repasse par zéro en descendant.

Partie 3 — Sélection et démodulation d'une onde modulée en amplitude

On utilise une chaîne électronique simplifiée représentée sur la figure 4 pour sélectionner et démoduler une onde électromagnétique modulée en amplitude. Dans cette chaîne on utilise une diode D considérée idéale, la bobine (b) — supposée aussi idéale — et le condensateur de capacité C₀ précédemment utilisé. La figure 4 montre, encadré en pointillés, l'étage 1 — l'antenne, la bobine (b) et le condensateur variable C en parallèle, suivis d'un bloc « Amplification » — puis, encadré lui aussi, l'étage 2 — la diode D, le conducteur ohmique variable R entre B et la masse M, le condensateur C₀ au point N, puis le condensateur C₂ en série et le conducteur ohmique R₂ — et enfin un second bloc « Amplification » qui alimente le haut-parleur HP.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Mouvement d'un satellite artificiel

On se propose d'étudier dans cette partie le mouvement d'un satellite artificiel autour de la Terre. Un satellite (S) de centre d'inertie G_S et de masse m_S est destiné à l'observation des océans. Dans le référentiel géocentrique considéré galiléen, (S) décrit une orbite circulaire autour de la Terre avec une période de révolution T ; (S) se trouve à une altitude h de la surface de la Terre (figure 1) — on note que dans la figure 1 l'échelle n'est pas respectée. La figure 1 montre la Terre, disque de centre O, l'orbite circulaire en pointillés autour d'elle, le satellite (S) de centre d'inertie G_S sur cette orbite avec les deux vecteurs de la base de Frenet — n dirigé de G_S vers O et u tangent à l'orbite — et l'altitude h cotée entre la surface de la Terre et l'orbite. On considère que la Terre est sphérique, de centre O, de rayon R_T, de masse m_T et ayant une symétrie sphérique de répartition de masse, et que (S) n'est soumis qu'à la force gravitationnelle exercée par la Terre. Données : constante de gravitation universelle G=6,67×10⁻¹¹ kg⁻¹.m³.s⁻² ; rayon de la Terre R_T=6380 km ; période de révolution T=1 h 52 min ; altitude h=1336 km.

Partie 2 — Mouvement d'un oscillateur

L'oscillateur mécanique étudié est modélisé par le système solide-ressort constitué d'un solide (S) de masse m=250 g et d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe et sur l'autre on accroche le solide (S) ; ce solide peut glisser sans frottement sur le plan horizontal. On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide (S) dans un repère R(O,i) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen, et on repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i) ; à l'équilibre, l'abscisse de G est nulle (figure 2, qui montre le support fixe hachuré à gauche, le ressort horizontal, le solide (S) de centre G à droite, et l'axe horizontal portant l'origine O, le vecteur i et l'abscisse x). On écarte (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif d'une distance X_m et on le lâche sans vitesse initiale à un instant choisi comme origine des dates (t=0). L'exploitation d'un enregistrement vidéo du mouvement de G à l'aide d'un logiciel adéquat a permis d'obtenir la courbe de la figure 3 représentant l'évolution temporelle de la vitesse v_x(t) de G : l'axe des ordonnées porte v_x en 10⁻² m.s⁻¹ gradué à −6,25, 0, 6,25 et 12,5, l'axe des abscisses est simplement noté t et une double flèche horizontale marque un intervalle de 1 s ; la courbe est sinusoïdale, part de zéro à t=0, son amplitude vaut 12,5×10⁻² m.s⁻¹ et une oscillation complète couvre deux fois l'intervalle marqué. On prend π²=10.