National 2024 · SP · session normale

L'acide ascorbique, de formule brute C₆H₈O₆ appelé vitamine C, est un antioxydant présent dans de nombreux fruits et légumes ; la vitamine C possède des propriétés rédox et acido-basiques, et cette vitamine se dégrade à la chaleur, à l'air. On se propose d'étudier dans cet exercice le suivi temporel de la dégradation de la vitamine C dans un jus d'orange, et le dosage d'une solution aqueuse contenant de la vitamine C.

Partie 1 — Suivi temporel de la dégradation de la vitamine C dans un jus d'orange

On dispose d'une solution (S) de jus d'orange de volume V=200 mL à une température θ ; si on expose ce jus à l'air, la vitamine C qu'il contient se dégrade par oxydation avec le dioxygène. On suit, par dosage, l'évolution temporelle de la dégradation de cette vitamine. Le graphe de la figure 1 représente l'évolution temporelle de l'avancement x de la réaction d'oxydation de la vitamine C, la droite (T) y représentant la tangente à la courbe au point d'abscisse t=t₁=60 h : l'axe des ordonnées porte x en mmol gradué à 0, 0,1 et 0,2, l'axe des abscisses t en heures à 40 et 80 ; la courbe croît depuis l'origine et tend vers un palier.

Partie 2 — Dosage d'une solution aqueuse de la vitamine C

Un comprimé de vitamine C contient 250 mg d'acide ascorbique ; ce comprimé a été laissé plusieurs jours à l'air libre, et la vitamine C qu'il contient a réagi avec le dioxygène de l'air. On souhaite déterminer la masse d'acide ascorbique restant dans le comprimé à l'aide d'un titrage pH-métrique. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; l'acide ascorbique C₆H₈O₆ est noté AH et le couple acide/base associé est AH_(aq)/A⁻_(aq) ; masse molaire M(AH)=176 g.mol⁻¹. On écrase le comprimé laissé à l'air libre et on le dissout dans l'eau, ainsi on obtient une solution aqueuse S_A d'acide ascorbique AH de concentration molaire C_A et de volume V_SA=50,0 mL. On prend le volume V_A=15,0 mL de S_A auquel on ajoute progressivement un volume V_B d'une solution aqueuse S_B d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq)+HO⁻_(aq) de concentration C_B=1,50×10⁻² mol.L⁻¹ ; seule la réaction acido-basique entre l'acide ascorbique AH et l'hydroxyde de sodium sera prise en compte. La courbe (C₁) de la figure 2 représente les variations du pH du mélange réactionnel en fonction de V_B et la courbe (C₂) représente les variations de dpHdV_B en fonction de V_B : l'axe des ordonnées est gradué à 0, 2 et 4, l'axe des abscisses porte V_B en mL gradué à 5 et 10 ; la courbe (C₁) croît lentement, présente un saut quasi vertical puis se stabilise, et la courbe (C₂), presque nulle partout ailleurs, est un pic étroit à l'abscisse de ce saut.

Propagation d'un signal à la surface de l'eau. On se propose dans cet exercice d'étudier la propagation d'un signal mécanique à la surface de l'eau. Un caillou jeté, en un point O, dans une cuve contenant de l'eau de profondeur h, provoque la formation d'une onde circulaire qui se propage à la surface de l'eau. La figure ci-dessous donne l'aspect de la surface de l'eau à deux instants t₁ et t₂ : on y voit le caillou au point O, un premier arc de cercle centré sur O et de rayon r₁ — l'aspect à l'instant t₁ —, un second arc de cercle beaucoup plus large et de rayon r₂ — l'aspect à l'instant t₂ —, et l'axe horizontal r (cm) sur lequel les deux rayons sont portés. Le tableau donne les valeurs des rayons du front d'onde à des instants donnés : à t=0, r=0 ; à t=t₁, r₁=14 cm ; à t₂=t₁+1,5 s, r₂=56 cm. On peut estimer la célérité v de l'onde qui se propage à la surface de l'eau par la relation v=√g h, avec g=9,8 m.s⁻² l'intensité de la pesanteur et h la profondeur de l'eau.

Désintégration de l'iridium 192. La curiethérapie est une technique qui consiste à traiter des tumeurs cancéreuses par insertion d'une source radioactive à proximité de ces tumeurs ; l'un des éléments radioactifs utilisés pour cette technique est l'iridium 192, ¹⁹²₇₇Ir. La source radioactive émet des rayonnements qui détruisent les cellules tumorales qu'ils traversent. Lors du traitement d'une tumeur, l'iridium 192 donne, essentiellement par désintégration, un noyau de platine ¹⁹²₇₈Pt et une particule chargée avec émission d'un rayonnement γ (gamma). Donnée : la demi-vie de l'iridium 192 est t_1/2=74 jours=6,3936×10⁶ s.

Dans les circuits électriques, une bobine peut se comporter comme un conducteur ohmique ou différemment selon le type du courant électrique utilisé, et les condensateurs peuvent stocker de l'énergie et la restituer en cas de besoin. On se propose dans cet exercice d'étudier la décharge d'un condensateur dans un dipôle RL, et la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension.

Partie 1 — Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL

Le circuit électrique de la figure 1 comporte un condensateur de capacité C=0,22 nF, une bobine (b) d'inductance L et de résistance r, un conducteur ohmique de résistance R ajustable et un interrupteur K — tous montés sur une seule boucle, la tension u_C étant repérée aux bornes du condensateur. Le condensateur est initialement chargé totalement par un générateur de tension idéale de force électromotrice E. On ajuste la résistance R à une valeur R=R₀ et on ferme l'interrupteur K à l'instant t=0. La courbe de la figure 2 représente l'évolution temporelle de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur : l'axe des ordonnées porte u_C en V gradué à −2, 0 et 2, l'axe des abscisses est simplement noté t ; la courbe oscille en changeant de signe avec une amplitude qui décroît, et les instants t₁ et t₂ y sont repérés par des traits verticaux en pointillés.

Partie 2 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le circuit schématisé dans la figure 3 en utilisant le générateur de tension de force électromotrice E=6 V, la bobine (b), le conducteur ohmique de résistance R ajustable et l'interrupteur K précédemment utilisés, montés en série et parcourus par le courant i. On ajuste la valeur de la résistance R à une valeur R₁ et on ferme l'interrupteur K à l'instant t₀=0. La courbe de la figure 4 représente les variations de didt en fonction de l'intensité i : l'axe des ordonnées porte didt en 10³ A.s⁻¹ gradué à 0, 1 et 2, l'axe des abscisses i en mA gradué à 1 et 2 ; le tracé est une droite décroissante.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Chute verticale d'une bille dans un liquide

On étudie le mouvement, dans un liquide (L), d'une bille (S) de centre d'inertie G, homogène, de masse m_B, de volume V_B et de masse volumique ρ_B. On étudie le mouvement de G dans un repère (O,k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen, et on repère la position de G à chaque instant t par la cote z sur l'axe vertical (O,k) dirigé vers le bas. À l'instant de date t₀, prise comme origine des dates (t₀=0), on lâche la bille dans le liquide (L) sans vitesse initiale d'une position où la cote de G est nulle (z=0) (figure 1, qui montre l'éprouvette verticale remplie du liquide, l'origine O au niveau de la surface libre, l'axe (O,k) dirigé vers le bas et coté z, et la bille (S) dans le liquide). Au cours de la chute dans le liquide, la bille (S) est soumise, en plus de son poids, à la force de frottement fluide f=−μ v où v=v_z k et μ le coefficient de frottement fluide, et à la poussée d'Archimède F=−ρ_L V_B g où g est l'intensité de la pesanteur et ρ_L la masse volumique du liquide (L). Données : intensité de la pesanteur g=10 m.s⁻² ; m_B=5,0 g ; ρ_B=5,526×10³ kg.m⁻³. L'exploitation d'un enregistrement vidéo du mouvement de G à l'aide d'un logiciel adéquat a permis d'obtenir la courbe de la figure 2 représentant l'évolution temporelle de la vitesse v_z(t) de G, la droite (T) y représentant la tangente à la courbe au point d'abscisse t₀=0 : l'axe des ordonnées porte v_z en m.s⁻¹ gradué à 0, 0,2 et 0,4, l'axe des abscisses t en s à 0,1 et 0,2 ; la courbe croît depuis l'origine vers un palier.

Partie 2 — Mouvement d'un système mécanique

On se propose d'étudier le mouvement d'un système mécanique et de déterminer quelques paramètres de ce mouvement. Ce système mécanique représenté sur la figure 3 est constitué d'une charge (C) de masse m et de centre d'inertie G susceptible de glisser sans frottement sur un plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal ; d'un cylindre (C) de rayon r et de moment d'inertie J_Δ par rapport à son axe de rotation (Δ), susceptible de tourner sans frottement autour de l'axe (Δ) sous l'effet d'un couple moteur de moment M constant ; et d'un câble inextensible de masse négligeable qui s'enroule sans glissement sur (C) et attaché à la charge (C). La figure 3 montre le plan incliné qui monte vers la droite, la charge (C) de centre G posée dessus, le câble qui la relie au cylindre (C) placé en haut de la pente et tournant autour de (Δ) dans le sens positif indiqué par une flèche, le repère (O,i,j) dont l'axe x suit la ligne de plus grande pente vers le haut, et l'angle α entre le plan incliné et l'horizontale en pointillés. Données : intensité de la pesanteur g=10 m.s⁻² ; r=10 cm ; m=100 kg ; α=45 ^∘ ; J_Δ=2×10⁻² kg.m². On étudie le mouvement du système mécanique {(C) ; (C)} dans un repère lié à un référentiel terrestre supposé galiléen, et on repère la position d'un point du cylindre à chaque instant t par son abscisse angulaire θ et la position du centre d'inertie G de (C) par son abscisse x suivant l'axe (O,i).