National 2023 · SP · session rattrapage

Cet exercice propose d'étudier une réaction d'oxydo-réduction forcée dans une première partie et une réaction acido-basique dans une deuxième partie.

Partie I — Électrolyse d'une solution aqueuse de bromure de zinc

On réalise l'électrolyse d'une solution aqueuse (S) de bromure de zinc Zn²⁺_(aq)+2Br⁻_(aq) de volume V en utilisant un générateur fournissant un courant d'intensité constante I et des électrodes en graphite (figure ci-contre). Au cours de cette électrolyse, le métal zinc se dépose sur l'une des électrodes. La figure montre un tube en U rempli de la solution aqueuse de bromure de zinc, deux électrodes en graphite plongées l'une dans chaque branche — l'électrode (B) à gauche et l'électrode (A) à droite — et, au-dessus, le générateur G dont la borne +, à gauche, est reliée à l'électrode (B) et la borne −, à droite, à l'électrode (A). Données : couples (Ox/Red) intervenant dans cette électrolyse — Br_2(aq)/Br⁻_(aq) et Zn²⁺_(aq)/Zn_(s) ; le faraday 1 F=9,65×10⁴ C.mol⁻¹ ; masse molaire M(Zn)=65,4 g.mol⁻¹ ; I=82 mA.

Partie II — Dosage d'une solution aqueuse de triméthylamine

La triméthylamine, de formule brute (CH₃)₃N, est une molécule présente dans quelques aliments ; elle a une odeur caractéristique de poisson pourri et elle est également associée à une maladie génétique appelée syndrome de l'odeur de poisson pourri. La triméthylamine est éliminée par les urines, les sueurs. On admet qu'un patient est atteint du syndrome de l'odeur de poisson pourri si la concentration en triméthylamine dans son urine est supérieure à 2,2×10⁻¹⁰ mol.L⁻¹. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le couple acide-base lié à la triméthylamine est (CH₃)₃NH⁺_(aq)/(CH₃)₃N_(aq). Pour doser une solution S₀ d'urine d'un patient dont la concentration en triméthylamine est C₀, on la dilue 10 fois pour obtenir une solution S_B de concentration C_B. On prend le volume V_B=20 mL de la solution S_B auquel on ajoute progressivement un volume V_A d'une solution aqueuse S_A d'acide chlorhydrique H₃O⁺_(aq)+Cl⁻_(aq) de concentration C_A=4×10⁻² mol.L⁻¹ ; on suppose que l'acide chlorhydrique réagit seulement avec la triméthylamine. La courbe représentant la variation du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_A de la solution acide S_A ajoutée présente deux points remarquables : le point Q de coordonnées (V_A=10 mL ; pH=9,9) et le point d'équivalence E de coordonnées (V_AE=20 mL ; pH_E=5,8). Le tableau des indicateurs colorés donne les zones de virage : hélianthine 3,1 – 4,4 ; rouge de méthyle 4,2 – 6,2 ; phénolphtaléine 8,2 – 10,0.

La diffraction est l'un des phénomènes physiques qui met en évidence la nature ondulatoire de la lumière. On se propose dans cet exercice d'étudier ce phénomène de diffraction pour déterminer la largeur d'une fente et les caractéristiques de certaines radiations lumineuses. Une source lumineuse émet, dans l'air, une radiation jaune, de longueur d'onde λ_0j=580 nm, vers une fente horizontale de largeur a. On observe, sur un écran situé à la distance D=1,4 m de la fente, des taches lumineuses réparties sur une ligne verticale ; la tache centrale a la largeur L_j=2,7 cm (figure ci-contre). La figure montre, de gauche à droite, la source lumineuse et son faisceau horizontal, la plaque percée de la fente, le faisceau qui s'ouvre après elle, et l'écran où s'alignent verticalement les taches lumineuses ; l'écart angulaire θ y est marqué entre l'axe et le bord de la tache centrale, la largeur L_j est cotée sur cette tache, et la distance D est cotée de la fente à l'écran. Donnée : on prend la célérité d'une onde lumineuse dans le vide et dans l'air c=3×10⁸ m.s⁻¹.

On se propose dans cet exercice d'étudier la charge d'un condensateur et sa décharge dans un dipôle RL, et la détection d'un signal modulé en amplitude. Le montage électrique représenté par le schéma de la figure 1 comporte un générateur de tension de force électromotrice E, un condensateur de capacité C ajustable et initialement déchargé, un conducteur ohmique de résistance R=35 Ω, un interrupteur K à double position, et une bobine d'inductance L et de résistance négligeable ; sur la figure 1, la position (1) de K ferme la boucle générateur–R–condensateur et la position (2) ferme la boucle condensateur–bobine, la tension u_C étant repérée aux bornes du condensateur et le courant i orienté vers le bas.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension

À un instant choisi comme origine des dates t₀=0 on met l'interrupteur K en position (1). Un système d'acquisition informatisé adéquat permet d'obtenir la courbe d'évolution temporelle de la charge q(t) du condensateur lors de sa charge, (T) représentant la tangente à la courbe au point d'abscisse t₀=0 (figure 2) : l'axe des ordonnées porte q en μC gradué à 0, 20 et 40, l'axe des abscisses t en ms à 0,5 et 1 ; la courbe croît depuis l'origine vers un palier à 120 μC, et la tangente (T) coupe ce palier à t=0,35 ms.

Partie 2 — Oscillations libres dans un circuit RLC série

Lorsque le régime permanent est atteint, on bascule l'interrupteur K en position (2) à un instant pris comme nouvelle origine des dates t₀=0. Le même système d'acquisition informatisé a permis d'obtenir la courbe d'évolution temporelle de la charge q(t) du condensateur (figure 3) : l'axe des ordonnées porte q en μC gradué à −40, 0 et 40, l'axe des abscisses est simplement noté t ; la courbe part de 120 μC à t₀=0, oscille en changeant de signe et son amplitude décroît, et l'instant t₁ repéré sur la courbe par un trait vertical en pointillés est celui du premier maximum positif suivant, où la charge vaut 40 μC.

Partie 3 — Détection d'un signal modulé en amplitude

On réalise un circuit d'accord (circuit bouchon) par le condensateur de capacité C ajustable et par la bobine d'inductance L=0,1 H précédemment utilisés ; ce circuit est schématisé avec une antenne réceptrice d'ondes électromagnétiques (figure 4, qui montre l'antenne au-dessus, la bobine L et le condensateur variable C en parallèle, et deux fils de sortie en pointillés vers la droite). On prend π²=10.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Mouvement d'un ballon dans un champ de pesanteur uniforme

Lors d'un service, un joueur de volley-ball, se trouvant à une distance D du filet, frappe le ballon à une hauteur h du sol et lui communique une vitesse V₀ faisant un angle α par rapport à l'horizontale. À cet instant choisi comme origine des dates t₀=0, le centre d'inertie G du ballon est au point A (figure 1). Données : V₀=16 m.s⁻¹ ; α=18 ^∘ ; hauteur du filet H_f=2,4 m ; distance entre le filet et la ligne de fond d=9 m ; D=11 m ; h=OA=3 m ; intensité de la pesanteur g=10 m.s⁻². On étudie le mouvement du centre d'inertie G du ballon dans le repère (O,i,j) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen ; l'origine O est située au niveau du sol (figure 1). La figure 1 est doublée d'une photographie d'un joueur au service, la ligne de fond du camp adverse y étant fléchée ; le schéma lui-même montre l'axe horizontal (Ox) au niveau du sol et l'axe vertical (Oy), le point A sur l'axe vertical à la hauteur h cotée depuis O, le vecteur V₀ partant de A et incliné de α au-dessus de l'horizontale, le point C de la ligne de fond du camp du serveur juste à droite de O, le filet dressé plus loin avec sa hauteur H_f cotée, le point E de la ligne de fond du camp adverse, la distance D cotée de la ligne de fond du serveur au filet, et la distance d cotée du filet au point E.

Partie II — Mouvement d'un pendule élastique

On étudie dans cette partie le mouvement oscillatoire d'un système mécanique solide-ressort. Ce système est constitué d'un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m=200 g, et d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur k ; l'une des extrémités du ressort est fixée à un support fixe et l'autre extrémité est liée au solide (S), qui peut osciller sans frottement sur le plan horizontal. On étudie le mouvement de G dans le repère (O,i) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen, et on repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i) ; à l'équilibre, l'abscisse de G est x=0 (figure 2, qui montre le support fixe hachuré à gauche, le ressort horizontal, le solide (S) de centre G à droite, et l'axe x′x portant l'origine O, le vecteur i et l'abscisse x de G). On écarte (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif et on l'envoie à l'instant t₀=0 avec une vitesse initiale dans le sens négatif. La courbe de la figure 3 représente l'évolution temporelle de l'abscisse x(t) de G : l'axe des ordonnées porte x en cm gradué à −1, 0 et 1, l'axe des abscisses t en s à 0,1 et 0,2 ; la courbe est sinusoïdale, oscille entre +2 et −2 cm, part de x=1 cm en descendant à t₀=0, et deux maximums successifs y sont séparés de 0,4 s ; l'instant t₁, repéré sur la courbe par un trait vertical en pointillés, est celui du premier maximum, où x=2 cm. On prend π²=10.