National 2023 · SP · session normale

Dans cet exercice on se propose d'étudier la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau, avec une solution aqueuse de méthanoate de sodium, et avec le méthanol.

Partie 1 — Étude d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque

On prépare un volume V d'une solution aqueuse S_A d'acide éthanoïque CH₃COOH de concentration molaire C_A=5×10⁻² mol.L⁻¹ ; son pH est pH=3,05.

Partie 2 — Réaction de l'acide éthanoïque avec l'ion méthanoate

On mélange un volume V₁ de la solution S_A avec un volume V₂=V₁ d'une solution aqueuse S_B de méthanoate de sodium Na⁺_(aq)+HCOO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=C_A. On donne pK_A2=pK_A(HCOOH_(aq)/HCOO⁻_(aq))=3,75.

Partie 3 — Réaction de l'acide éthanoïque avec le méthanol

On réalise deux mélanges équimolaires de l'acide éthanoïque avec du méthanol CH₃OH, n₀(CH₃COOH)=n₀(CH₃OH)=0,9 mol. Le suivi temporel de la quantité de matière n_a de l'acide éthanoïque dans chaque mélange, à une même température θ, a permis d'obtenir les courbes C₁ et C₂ de la figure ci-contre ; l'une des deux courbes est obtenue en utilisant un catalyseur pour l'un des deux mélanges. Sur cette figure, l'axe des ordonnées porte n_a en mol gradué à 0,2 et 0,4, l'axe des abscisses t en heures gradué à 5 et 10 ; les deux courbes partent de 0,9 mol à t=0 et décroissent vers le même palier, à 0,30 mol — la courbe C₁, la plus basse des deux, l'atteint vers 4 heures, la courbe C₂ vers 12 heures, et C₂ passe par n_a=0,60 mol vers 3,5 heures. La constante d'équilibre de la transformation chimique étudiée est K=4.

Dans cet exercice on se propose d'étudier la désintégration du tritium ³₁H et sa réaction de fusion avec le deutérium ²₁H ; ²₁H et ³₁H sont deux isotopes de l'élément hydrogène. Données : on prend la masse molaire du tritium M(³₁H)=3 g.mol⁻¹ ; nombre d'Avogadro N_A=6,02×10²³ mol⁻¹ ; demi-vie du tritium t_1/2=12,32 an ; énergies de liaison de quelques noyaux — E_ℓ(²₁H)=2,366 MeV, E_ℓ(³₁H)=8,475 MeV, E_ℓ(⁴₂He)=28,296 MeV ; on prend 1 an=3,16×10⁷ s.

Partie 1 — Désintégration du tritium

Le tritium est un isotope radioactif émetteur β⁻, et le noyau formé est l'un des isotopes de l'hélium.

Partie 2 — Réaction de fusion du tritium et du deutérium

La réaction de fusion entre un noyau de deutérium et un noyau de tritium conduit à la formation d'un noyau d'hélium ⁴₂He et s'accompagne de l'émission d'un neutron.

Cet exercice se propose d'étudier la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension, un circuit oscillant LC, et la modulation d'amplitude d'un signal.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage électrique représenté sur le schéma de la figure 1, comportant un générateur de tension de force électromotrice E=24 V, un conducteur ohmique de résistance R, une bobine (b) d'inductance L et de résistance négligeable, et un interrupteur K — tous montés en série sur une seule boucle, le courant i étant orienté du générateur vers la bobine. On ferme l'interrupteur K à l'instant de date t₀=0. Un système d'acquisition informatisé adéquat permet d'obtenir la courbe représentant l'évolution temporelle de l'intensité du courant électrique i(t) dans le circuit (figure 2), la droite (T) représentant la tangente à la courbe au point d'abscisse t₀=0 : l'axe des ordonnées porte i en mA et n'est gradué qu'à 9,6 et 19,2, l'axe des abscisses t en ms à 0, 2 et 4 ; la courbe croît depuis l'origine vers une asymptote horizontale à 48 mA, et la tangente (T) coupe cette asymptote à t=2 ms.

Partie 2 — Circuit oscillant LC

On réalise un circuit oscillant LC en associant la bobine (b) précédemment utilisée avec un condensateur de capacité C chargé totalement par un générateur de tension de force électromotrice E₀ (figure 3, où le condensateur C et la bobine (b) forment une seule boucle parcourue par le courant i). La courbe de la figure 4 représente les variations de la tension u_C(t) en fonction du temps ; cette figure n'a pas de graduations chiffrées mais porte deux flèches d'échelle, 5 V pour une division verticale et 0,5 ms pour une division horizontale : la courbe est sinusoïdale, part d'un maximum de 10 V — deux divisions — à t=0, et se reproduit identique au bout de quatre divisions, soit 2 ms ; elle vaut 8 V à la date t=1,8 ms. On prend π²=10.

Partie 3 — Modulation d'amplitude d'un signal

La courbe de la figure 5 représente l'évolution temporelle de la tension u(t) associée à un signal modulé en amplitude ; cette figure porte elle aussi deux flèches d'échelle, 2 V pour une division verticale et 1 ms pour une division horizontale. Une oscillation de la porteuse y occupe un quart de division, l'enveloppe se reproduit toutes les cinq divisions, et cette enveloppe varie entre U_min=2 V et U_max=6 V.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Étude de la chute d'une balle

Dans le champ de pesanteur, on lance verticalement vers le haut à l'instant t=0, à partir d'un point O, une balle (S) de masse m et de centre d'inertie G, avec une vitesse initiale de valeur V₀=12 m.s⁻¹ (figure 1, qui montre l'axe vertical Z orienté vers le haut, l'origine O en bas, le vecteur unitaire k et le vecteur vitesse V₀ dirigés vers le haut, la balle (S) plus haut sur l'axe, et la hauteur h cotée entre O et le sommet de la trajectoire). On étudie le mouvement du centre d'inertie G de la balle dans un repère (O ; k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen, en deux phases : mouvement de chute libre de la balle dans la première phase, mouvement de chute de la balle avec frottement dans la deuxième phase. Données : la masse m=80 g ; l'intensité de la pesanteur g=10 m.s⁻². À partir de l'instant du passage du centre d'inertie G par le point O vers le bas, qu'on prend comme nouvelle origine des dates t₀=0, la balle est soumise, en plus de son poids P, à une force de frottement fluide modélisée par f=−λ v avec v=v_z k et λ=0,12 en unités SI ; on néglige la poussée d'Archimède devant ces deux forces.

Partie II — Étude du mouvement d'une balançoire

Un enfant oscille à l'aide d'une balançoire (figure 2, une photographie d'un enfant assis sur une balançoire suspendue à deux cordes). On modélise la balançoire avec l'enfant par un pendule formé par un corps solide (S) de masse m et de centre d'inertie G, suspendu en un point O par une tige rigide, de masse négligeable et de longueur ℓ, pouvant effectuer un mouvement de rotation dans un plan vertical autour d'un axe horizontal (Δ) passant par O (figure 3, qui montre l'axe vertical ascendant z, le point de suspension O marqué (Δ), la tige inclinée de l'angle θ par rapport à la verticale, le solide (S) de centre G à son extrémité, la position d'équilibre G₀ en bas, et le vecteur unitaire k dirigé vers le haut). On étudie le mouvement du pendule dans un repère (G₀ ; k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. On écarte le pendule de sa position d'équilibre stable d'un angle petit θ₀=9 ^∘, dans le sens positif, puis on le lâche sans vitesse initiale à l'instant de date t₀=0 ; on repère la position du pendule à un instant de date t par l'abscisse angulaire θ. On néglige tous les frottements et on choisit le plan horizontal passant par G₀ — position de G à l'équilibre stable — comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0). Données : le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation (Δ) est J_Δ=m ℓ² ; accélération de la pesanteur g=10 m.s⁻² ; ℓ=2,4 m ; pour les oscillations de faible amplitude on prend cosθ≈1−θ²2, θ en radian.