National 2018 · SP · session normale

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Électrolyse du bromure de plomb

Électrolyse d'un composé ionique : le bromure de plomb. On réalise l'électrolyse du bromure de plomb Pb²⁺+2Br⁻ à haute température, par un générateur fournissant un courant électrique d'intensité I constante. Au cours de cette électrolyse, le métal plomb se dépose sur l'une des électrodes et au niveau de l'autre il se forme le gaz dibrome. Au cours du fonctionnement de l'électrolyseur pendant la durée Δt=3600 s, la masse de plomb déposé est m=20,72 g. Données : les deux couples mis en jeu sont Pb²⁺/Pb_(s) et Br_2(g)/Br⁻ ; la constante de Faraday F=9,65×10⁴ C.mol⁻¹ ; le volume molaire des gaz dans les conditions de l'expérience V_m=70,5 L.mol⁻¹ ; la masse molaire du plomb M(Pb)=207,2 g.mol⁻¹.

Partie II — Réactions de l'acide lactique

L'acide 2-hydroxypropanoïque est connu généralement sous le nom d'acide lactique ; c'est un acide organique qui entre dans beaucoup de réactions biochimiques, on le trouve dans le lait et ses dérivés, dans des fruits et légumes, et il est utilisé comme conservateur des aliments et dans la préparation de certains produits pharmaceutiques contre des maladies de la peau. On se propose d'étudier en premier lieu la réaction de l'acide lactique avec l'hydroxyde de sodium, puis dans un deuxième temps sa réaction avec un alcool. 1 — Réaction de l'acide lactique avec l'hydroxyde de sodium. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; on représente l'acide lactique CH₃−CH(OH)−COOH par AH et sa base conjuguée par A⁻ ; la constante d'acidité du couple AH_(aq)/A⁻_(aq) est K_A=10^−3,9 ; zones de virage de trois indicateurs colorés — hélianthine 3−4,4, B.B.T 6−7,6, rouge de crésol 7,2−8,8. On dose le volume V_A=15 mL d'une solution aqueuse (S_A) d'acide lactique AH de concentration molaire C_A par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium de concentration molaire C_B=3×10⁻² mol.L⁻¹, en suivant les variations du pH du mélange réactionnel en fonction du volume V_B versé de la solution (S_B). La courbe de la figure représente ces variations : l'axe des ordonnées porte le pH, gradué de 2 en 2 de 2 à 10 ; l'axe des abscisses porte V_B en millilitres, gradué de 2 en 2 de 0 à 16 ; la courbe part du voisinage de pH=3 à V_B=0, monte lentement en passant par pH=4 vers V_B=4 mL, présente un saut vertical centré sur V_B=10 mL à un pH voisin de 8, puis tend vers pH≈11,5 ; deux droites parallèles en pointillés encadrent le saut, tracées pour la méthode des tangentes. 2 — Réaction entre l'acide lactique et le méthanol : on mélange dans un ballon la quantité n₀=10⁻³ mol d'acide lactique CH₃−CH(OH)−COOH avec la même quantité n₀=10⁻³ mol de méthanol pur CH₃−OH, puis on chauffe à reflux le mélange réactionnel pendant une certaine durée ; on obtient à la fin de la réaction la quantité n_E=6×10⁻⁴ mol d'un ester E.

Détermination de la célérité d'une onde ultrasonore dans un liquide. Les ondes mécaniques se propagent seulement dans un milieu matériel, et leur célérité croît avec la densité du milieu où elles se propagent. Pour déterminer la valeur approximative de la célérité V_p d'une onde ultrasonore dans le pétrole liquide, on réalise l'expérience suivante : dans une cuve contenant du pétrole, on fixe à l'une de ses extrémités deux émetteurs E₁ et E₂ reliés à un générateur GBF ; à l'instant t₀=0, les deux émetteurs émettent chacun une onde ultrasonore, l'une se propageant dans l'air et l'autre dans le pétrole. À l'autre extrémité de la cuve, on place deux récepteurs R₁ et R₂, l'un dans l'air et l'autre dans le pétrole, à une distance L des émetteurs (figure 1 : la cuve est vue en coupe, la couche d'air au-dessus et le pétrole en dessous, E₁ et R₁ dans l'air, E₂ et R₂ dans le pétrole, le GBF à gauche et l'oscilloscope à droite, la distance L étant fléchée entre les deux extrémités). On visualise sur l'écran d'un oscilloscope les deux signaux reçus par R₁ et R₂ (figure 2) : l'écran porte un quadrillage de dix divisions en largeur et huit en hauteur ; la voie A, en haut, et la voie B, en bas, montrent chacune une salve d'oscillations. Données : les deux ondes parcourent la même distance L=1,84 m ; la célérité des ultrasons dans l'air V_air=340 m.s⁻¹ ; la sensibilité horizontale de l'oscilloscope 2 ms par division.

Un professeur a consacré, avec ses élèves, une séance de travaux pratiques de physique pour déterminer expérimentalement la valeur de la capacité d'un condensateur par deux méthodes différentes, et pour étudier un circuit RLC série.

Partie I — Détermination expérimentale de la capacité d'un condensateur

1 — En utilisant un générateur de courant. Un premier groupe d'élèves réalise le montage expérimental de la figure 1, constitué de : un générateur idéal de courant qui alimente le circuit par un courant électrique d'intensité I₀ ; un conducteur ohmique de résistance R ; deux condensateurs (c₁) et (c₂) montés en parallèle, respectivement de capacités C₁=7,5 μF et C₂ inconnue ; un interrupteur K. Sur ce schéma, le générateur de courant I₀, le conducteur ohmique R et l'interrupteur K sont en série avec le bloc des deux condensateurs en parallèle, dont les bornes sont notées A et B. À l'instant t₀=0, un élève ferme le circuit ; à l'aide d'un système d'acquisition informatisé, le groupe obtient la courbe des variations de la charge q du condensateur équivalent à l'association de (c₁) et (c₂) en fonction de la tension u_AB (figure 2) : l'axe des ordonnées porte q en microcoulombs, les graduations 10 et 20 étant imprimées ; l'axe des abscisses porte u_AB en volts, les graduations 1 et 2 étant imprimées ; la courbe est une droite qui passe par l'origine et par le point (2 ; 20). 2 — En étudiant la réponse du dipôle RC à un échelon de tension. Un deuxième groupe d'élèves de la même classe réalise le montage représenté par la figure 3, constitué par : un générateur idéal de tension de force électromotrice E ; un conducteur ohmique de résistance R=1600 Ω ; le condensateur précédent de capacité C₂ ; un interrupteur K à double position. Sur ce schéma, la position (1) branche le générateur E sur le condensateur C₂ et la position (2) referme le condensateur sur le conducteur ohmique R, la tension aux bornes du condensateur étant notée u_C2 et le courant i. Après avoir chargé totalement le condensateur, un élève bascule l'interrupteur K sur la position (2) à l'instant t₀=0 ; le groupe obtient la courbe des variations de la tension u_C2(t) (figure 4) : l'axe des ordonnées porte u_C2 en volts, seule la graduation 9 étant imprimée ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, gradué 0, 4, 8 et 12 ; la courbe part de 9 V à t=0 et décroît en tendant vers zéro, et la tangente à l'origine, tracée en pointillés, coupe l'axe des temps à la date 4 ms.

Partie II — Circuit RLC série

Un élève de la même classe réalise le montage représenté sur la figure 5, qui comporte : un condensateur, totalement chargé, de capacité C=2,5 μF ; une bobine d'inductance L et de résistance r ; un interrupteur K. Sur ce schéma, le condensateur C et la bobine (L,r) sont en série entre les points A et B, l'interrupteur K fermant la maille. Après fermeture du circuit, on visualise, à l'aide d'un système d'acquisition informatisé, des oscillations pseudopériodiques représentant les variations de la charge q(t) du condensateur. Pour obtenir des oscillations électriques entretenues, un générateur G délivrant une tension proportionnelle à l'intensité du courant u_G(t)=k i(t) est inséré en série dans le circuit précédent ; en ajustant le paramètre k sur la valeur k=5, exprimée dans le système d'unités international, les oscillations deviennent sinusoïdales (figure 6) : l'axe des ordonnées porte q en microcoulombs, avec les seuls repères q_m, 0 et −q_m ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, gradué 1, 2, 3 et 4 ; la courbe est une sinusoïde non amortie qui part de son maximum q_m à t=0 et repasse par son maximum à t=2,5 ms.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Chute verticale d'une bille dans un liquide visqueux

Afin de déterminer quelques caractéristiques du mouvement de chute d'une bille dans un liquide visqueux, on réalise l'expérience suivante : on remplit une éprouvette graduée par un liquide visqueux et transparent, de masse volumique ρ, puis on libère, sans vitesse initiale dans ce liquide, une bille de masse m=2×10⁻² kg, de volume V et de centre d'inertie G. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans un repère (O,j) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen ; la position instantanée du centre d'inertie G est repérée sur un axe vertical Oy orienté vers le bas (figure 1, un dessin de l'éprouvette graduée verticale, l'origine O au niveau de la surface du liquide, l'axe y dirigé vers le bas et la bille figurée par un disque noir à mi-hauteur). On considère que la position de G à l'instant t=0 est confondue avec l'origine de l'axe Oy et que la poussée d'Archimède F_a n'est pas négligeable devant les autres forces. La force de frottement fluide est modélisée par f=−k v_G, v_G étant le vecteur vitesse instantanée du centre d'inertie G et k une constante positive ; on rappelle que l'intensité de la poussée d'Archimède vaut le poids du liquide déplacé, F_a=ρ V g, où g est l'intensité de pesanteur. Avec une caméra numérique et un logiciel adapté, on obtient, après traitement des données expérimentales, la courbe des variations de la vitesse instantanée du centre d'inertie de la bille en fonction du temps (figure 2) : l'axe des ordonnées porte v_G en m.s⁻¹, gradué de 0,1 en 0,1 de 0,1 à 0,5 ; l'axe des abscisses porte le temps en millisecondes, gradué 36, 72, 108 et 144 ; la courbe part de l'origine, croît et tend vers un palier à 0,5 m.s⁻¹, et la tangente à l'origine, tracée en pointillés, coupe ce palier à la date 54 ms. Pour la dernière question, l'équation différentielle du mouvement de G s'écrit sous la forme numérique dv_Gdt=9,26−18,52 v_G, et le sujet donne un tableau de trois lignes pour la méthode d'Euler : à t=0,015 s, v_G=0,126 m.s⁻¹ et a_G=a₃ ; à t=0,020 s, v_G=v₄ et a_G=6,28 m.s⁻² ; à t=0,025 s, v_G=0,192 m.s⁻¹ et a_G=5,70 m.s⁻².

Partie II — Étude énergétique d'un oscillateur solide-ressort

On modélise une partie d'une machine mécanique par un oscillateur horizontal, constitué d'un solide (S), de centre d'inertie G et de masse m, fixé à l'extrémité d'un ressort horizontal à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K=35 N.m⁻¹ ; l'autre extrémité est attachée à un support immobile. On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre d'une distance X_m puis on le lâche sans vitesse initiale ; le solide (S) oscille sans frottements sur un plan horizontal. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans un repère (O,i) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen ; la position de G, lorsque le solide (S) est à l'équilibre, coïncide avec l'origine O de l'axe (O,i), et on repère la position de G à un instant t par l'abscisse x (figure 3, un schéma qui montre le ressort attaché au mur à gauche et le solide (S), de centre G, posé sur le plan horizontal, avec l'axe (O,i) dessous et l'abscisse x repérée à partir de O). On choisit la position de G à l'état d'équilibre (x=0) comme référence de l'énergie potentielle élastique, et l'équation horaire du mouvement de G s'écrit sous la forme x(t)=X_mcos(2πtT₀+φ). La courbe de la figure 4 représente les variations de l'abscisse x en fonction du temps : l'axe des ordonnées porte x en centimètres, gradué −6, −3, 0, 3 et 6 ; l'axe des abscisses porte le temps en secondes, les graduations 0,5 et 1 étant imprimées ; la courbe est une sinusoïde qui part de son maximum 6 cm à t=0, oscille entre +6 et −6 cm et repasse par son maximum à t=0,5 s.