National 2026 · SM · session rattrapage

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Détermination de la classe d'un alcool

On réalise une réaction d'estérification en utilisant un mélange équimolaire contenant un volume V₁=14,3 mL d'acide éthanoïque CH₃COOH de densité d₁=1,05 et un volume V₂=19,2 mL d'un alcool A de formule brute C₃H₈O. On note S le mélange obtenu. L'alcool de formule brute C₃H₈O possède deux isomères : le propan-1-ol qui est un alcool de classe primaire, de formule semi-développée CH₃−CH₂−CH₂−OH ; le propan-2-ol qui est un alcool de classe secondaire, de formule semi-développée CH₃−CH(OH)−CH₃ — le sujet la dessine avec le groupe OH écrit sous le carbone central. La constante d'équilibre K associée à la réaction d'estérification dépend de la classe de l'alcool utilisé : pour l'alcool primaire K=4 ; pour l'alcool secondaire K=2,25. Cette partie vise à déterminer la classe de l'alcool A. Données : les masses molaires M(C)=12 g.mol⁻¹, M(O)=16 g.mol⁻¹, M(H)=1 g.mol⁻¹ ; la masse volumique de l'eau ρ_e=1 g.mL⁻¹. On prépare 10 tubes à essai propres et secs, puis on introduit dans chaque tube un volume V=3,35 mL du mélange S. On place, à t₀=0, les dix tubes dans un bain marie où la température est constante. Pour déterminer la composition du mélange à un instant t dans un tube, on le retire du bain marie, on le refroidit avec de l'eau glacée et on dose l'acide éthanoïque restant avec une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=1 mol.L⁻¹. On obtient l'équivalence pour un volume V_BE de la solution d'hydroxyde de sodium versé. La courbe de la figure 1 représente l'évolution temporelle du volume V_BE : V_BE=f(t) ; l'axe des ordonnées porte V_BE en mL avec les graduations 5 et 10, l'axe des abscisses t en heure avec les graduations 0, 10 et 20, et la courbe décroît depuis sa valeur initiale vers une asymptote horizontale voisine de 10.

Partie 2 — Etude d'une solution aqueuse d'un indicateur coloré

Le bleu de bromothymol, souvent noté B.B.T, est un acide selon Bronsted, sa formule brute est C₂₇H₂₈Br₂O₅S ; sa solution aqueuse change de teinte en fonction du pH, elle est jaune lorsque le pH≤6,0 et bleue si pH≥7,6. On représente dans ce qui suit sa forme acide par HIn et sa forme basique par In⁻. La mesure du pH d'une solution aqueuse S de cet indicateur coloré donne pH=6. Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 °C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; les conductivités molaires ioniques λ(NH₄⁺)=7,35 mS.m².mol⁻¹ et λ(HO⁻)=19,83 mS.m².mol⁻¹. La figure 2 porte en ordonnée la proportion p(HIn), graduée à 0 et 0,2, et en abscisse le pH, gradué à 4, 5 et 6 ; la courbe part d'un palier voisin de 1 aux petits pH et descend vers zéro en forme de S.

La datation de l'âge de la Terre. L'uranium, métal lourd et radioactif, est principalement utilisé comme combustible dans les réacteurs nucléaires pour produire l'électricité. Il est naturellement présent dans la croute terrestre sous formes de deux isotopes principaux : l'uranium 238 qui est faiblement radioactif, sa proportion actuelle en masse est 99,29 % ; l'uranium 235 est un élément radioactif et fissile, sa proportion actuelle en masse est 0,71 %. On modélise le bilan des désintégrations des deux isotopes par les équations : ²³⁵₉₂U→²⁰⁷₈₂Pb + x ⁴₂He + y ⁰₋₁e et ²³⁸₉₂U→²⁰⁶₈₂Pb + 8 ⁴₂He + 6 ⁰₋₁e. Dans une étude théorique visant à estimer l'âge de la Terre, un chercheur pose l'hypothèse suivante : les deux isotopes se trouvaient en nombres égaux N₀(²³⁸₉₂U)=N₀(²³⁵₉₂U) dans la Terre à l'instant de sa formation (t₀=0). Les courbes de la figure 1 représentent l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux dans un échantillon contenant le même nombre initial N₀ de noyaux d'uranium 238 et de noyaux d'uranium 235 ; l'axe des ordonnées porte N(t), l'axe des abscisses t en 10⁹ an avec les graduations 0, 0,35 et 0,7 ; la courbe (a) décroît lentement et la courbe (b) décroît beaucoup plus vite. On désigne par N(²³⁸₉₂U) le nombre de noyaux ²³⁸₉₂U dans l'échantillon à un instant t et m₁ leur masse, et par N(²³⁵₉₂U) le nombre de noyaux ²³⁵₉₂U à un instant t et m₂ leur masse. Données : la constante radioactive de l'uranium 238 λ₁=1,55×10⁻¹⁰ an⁻¹ ; la masse molaire de l'uranium 238 M₁=238 g.mol⁻¹ ; la masse molaire de l'uranium 235 M₂=235 g.mol⁻¹ ; l'énergie de liaison du noyau du plomb 206 E_ℓ2=1600,4 MeV ; l'âge de la terre est 4,5.10⁹ an ; 1 u=931,5 MeV.c⁻² ; les masses, données en tableau : ¹₁p 1,0073 u, ¹₀n 1,0087 u, ²³⁸₉₂U 238,0508 u.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Etude énergétique de la charge et de la décharge d'un condensateur

Pour étudier la charge d'un condensateur et sa décharge dans un dipôle D, on réalise le montage expérimental de la figure 1 qui se compose de : un générateur idéal de courant électrique qui débite un courant d'intensité constante I=200 mA ; un conducteur ohmique de résistance R₁ ; un condensateur de capacité C initialement déchargé ; un dipôle D modélisé par un conducteur ohmique de résistance R qui ne fonctionne normalement que si la tension u_D entre ses bornes est telle que u_D≥U_f=8,95 V ; un interrupteur K. Sur la figure 1, le générateur de courant et le conducteur ohmique R₁ occupent la branche de gauche, l'interrupteur K bascule entre la position 1 (le générateur) et la position 2 (le dipôle D), le condensateur occupe la branche médiane avec la tension u_C fléchée à ses bornes, et le dipôle D la branche de droite avec la tension u_D fléchée à ses bornes. La figure 2 porte en ordonnée l'énergie électrique E_e en 10⁻² J, graduée à 2 et 4, et en abscisse t² en s², graduée à 0, 0,5 et 1 ; c'est une droite qui passe par l'origine. La figure 3 porte en ordonnée E_e en J, graduée à 13,5 et 40, et en abscisse t en s, graduée à 0, 2 et 4 ; la courbe décroît depuis sa valeur initiale vers zéro.

Partie 2 — Modulation d'amplitude et réception d'un signal modulé

Afin de réaliser la modulation d'amplitude, on utilise le circuit intégré multiplieur X (figure 4), qui porte deux entrées E₁ et E₂ et une sortie S. On applique à l'entrée E₁ une tension sinusoïdale porteuse u₁(t)=6cos(2π.10⁴.t) ; à l'entrée E₂ une tension u₂(t)=s(t) + U₀ avec U₀ la tension continue de décalage, et s(t)=S_mcos(2π.f.t) la tension modulante (f≪10⁴ Hz). On obtient à la sortie S du multiplieur la tension modulée en amplitude u_S(t) telle que u_S(t)=K.u₁(t).u₂(t), K étant une constante positive qui caractérise le multiplieur. La figure 5 porte en ordonnée u_sm en V, graduée à 1 et 2, et en abscisse s en V, graduée à −2, −1, 0, 1 et 2 ; c'est une droite croissante qui coupe l'axe des ordonnées entre les graduations 1 et 2.

Mouvement d'un système oscillant. La résonance mécanique peut apparaître lorsqu'un système oscillant est soumis à une excitation par un autre système. L'étude des oscillations libres d'un système mécanique permet de comprendre à quelles conditions ce système peut entrer en état de résonance et comment contrôler ses oscillations. Soit le système oscillant constitué de : un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K dont l'une des extrémités est attachée à un support ; un solide S de masse m et de centre d'inertie G ; une poulie, de rayon R et de moment d'inertie J_Δ par rapport à l'axe (Δ), susceptible de tourner sans frottement autour de l'axe horizontal (Δ) passant par son centre I. L'extrémité libre du ressort et le solide S sont reliés par un fil inextensible, de masse négligeable et passant sans glissement dans la gorge de la poulie (figure 1). On étudie le mouvement du système dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen. À l'équilibre, le centre d'inertie G du solide est confondu avec O l'origine du repère R(O ; k). Sur la figure 1, le ressort horizontal est accroché au mur à gauche, son fil passe sur la poulie de centre I repérée par l'abscisse angulaire θ, et le solide S pend verticalement sous la poulie le long de l'axe z descendant porté par k, l'origine O étant marquée au-dessus de S. Données : l'intensité de pesanteur g=10 m.s⁻² ; la masse de S m=100 g ; le rayon de la poulie R=2 cm. La figure 2 porte en ordonnée z en cm, graduée à −1, 0 et 1, et en abscisse t en s, graduée à 0,2 et 0,4 ; la courbe est sinusoïdale et part d'un maximum à t=0. La figure 3 porte en ordonnée l'énergie potentielle E_p en mJ, graduée à 108 et 116 (l'axe est interrompu sous 108), et en abscisse z en cm, graduée à −1, 0 et 1 ; la courbe est une parabole dont le minimum est en z=0.