National 2025 · SM · session normale

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Électrolyse d'une solution de chlorure d'or

L'or est un métal noble, son symbole chimique est Au ; son état ionique dépend du composé ionique où il se trouve, sa charge peut aller de −e (Au⁻) jusqu'à +4e (Au⁴⁺). Le but de cette partie est de déterminer la charge de cet ion dans le chlorure d'or, dont la solution aqueuse sera notée Au^p+_(aq) + pCl⁻_(aq) avec p un entier naturel non nul. On réalise l'électrolyse d'une solution aqueuse de chlorure d'or en utilisant deux électrodes E₁ et E₂ inattaquables (figure 1) ; pour cela on fait passer dans l'électrolyseur un courant électrique continu d'intensité I. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de la masse de l'or déposé en fonction du temps : c'est une droite passant par l'origine, graduée 0,25 et 0,5 milligramme en ordonnée, 0,5, 1 et 1,5 seconde en abscisse. Données : M(Au)=197 g·mol⁻¹ ; 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; I=0,40 A.

Partie 2 — Étude d'une solution aqueuse d'éthanoate de sodium

L'éthanoate de sodium CH₃COONa est un composé ionique utilisé dans l'industrie alimentaire, pharmaceutique et la chimie analytique. Cette partie se propose d'étudier quelques solutions aqueuses de ce composé et sa pureté dans un produit commercial. Données : toutes les mesures sont faites à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; la masse molaire de l'éthanoate de sodium M(CH₃COONa)=82 g·mol⁻¹ ; les conductivités molaires ioniques λ_Na⁺=5 mS·m²·mol⁻¹, λ_CH3COO⁻=4,1 mS·m²·mol⁻¹, λ_HO⁻=19,9 mS·m²·mol⁻¹. On prépare une solution aqueuse S d'éthanoate de sodium Na⁺_(aq) + CH₃COO⁻_(aq) de volume V=100 mL et de concentration molaire C=0,1 mol·L⁻¹ ; la mesure de la conductivité de S donne σ=910,125 mS·m⁻¹. On modélise la transformation acide-base qui se produit par l'équation CH₃COO⁻_(aq) + H₂O_(ℓ)⇌CH₃COOH_(aq) + HO⁻_(aq).

L'écoulement silencieux de l'eau dans une conduite cylindrique. Les ondes ultrasonores sont des ondes mécaniques qui peuvent se propager dans les liquides avec une vitesse qui dépend de la nature du liquide et de la vitesse de son écoulement. La vitesse silencieuse est la vitesse d'écoulement de l'eau le long d'une canalisation sans émettre un son audible ; elle est donnée par la formule empirique de Croquelois v_s=√0,02 d, où la vitesse silencieuse v_s est exprimée en m·s⁻¹ et d est le diamètre de la canalisation exprimé en mm. L'objectif de cet exercice est de déterminer le diamètre d d'une conduite qui permet d'avoir un écoulement non audible. Une onde ultrasonore de fréquence N=50 kHz se propage, avec une vitesse v, dans une eau qui coule dans une conduite avec une vitesse v_e telle que v=v₀ + v_e, avec v₀ la vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans l'eau au repos. Pour déterminer la vitesse v₀ et la vitesse v_e d'écoulement de l'eau dans une conduite horizontale, on place à l'intérieur de cette conduite un émetteur E et un récepteur R d'ondes ultrasonores, distants de L=1,0 m et situés sur la même droite horizontale, parallèle à la direction de la conduite de l'eau. L'émetteur E émet, à l'instant t=0, une onde ultrasonore de faible durée qui est reçue par le récepteur R. Un dispositif adéquat permet d'enregistrer le signal u(t) reçu par le récepteur R dans deux cas : premier cas, l'eau est au repos (figure 1) ; deuxième cas, l'eau coule de E vers R (figure 2). La figure 3 représente les deux enregistrements obtenus (a) et (b) dans les deux expériences : une impulsion unique à la date t₁ pour (a), à la date t₂ pour (b).

La désintégration du radium 226. Le radium 226 a été utilisé jusqu'aux années 1950, pour ses propriétés de radio-luminescence, dans les peintures destinées à l'horlogerie et aux dispositifs de signalisation de secours. Le but de cet exercice est de déterminer l'énergie libérée par un échantillon de radium 226. Le radium ²²⁶₈₈Ra subit une désintégration de type α en se transformant en radon ^A_ZRn. Données : masses en u — α : 4,0015 ; ^A_ZRn : 221,9703 ; ²²⁶₈₈Ra : 225,9770 ; la masse molaire du radium 226 M=226 g·mol⁻¹ ; la constante d'Avogadro N_A=6,02×10²³ mol⁻¹ ; 1 u =931,5 MeV·c⁻² ; 1 MeV =1,6×10⁻¹³ J. Une boîte de peinture destinée aux dispositifs de signalisation de secours contient un échantillon de radium 226 de masse m₀=1,0 g à l'instant t=0.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Détermination de la capacité d'un condensateur et de l'inductance d'une bobine

Pour déterminer la capacité d'un condensateur et l'inductance d'une bobine, on réalise le montage expérimental de la figure 1, comportant un générateur idéal de tension de force électromotrice E, deux condensateurs initialement déchargés de capacités C₁ et C₂=2 µF, une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, un conducteur ohmique de résistance R et un interrupteur K à double position. À un instant pris comme origine des dates (t=0) on place l'interrupteur K en position 1. Un dispositif adéquat a permis d'obtenir les courbes (a) et (b) représentant l'évolution temporelle de ln(u_R) et de ln(E − u_C2), avec u_R la tension aux bornes du conducteur ohmique et u_C2 la tension aux bornes du condensateur de capacité C₂ (figure 2) : la courbe (a) décroît puis s'aplatit, la courbe (b) est une droite décroissante ; le diagramme est gradué 0,5 en ordonnée et 5 millisecondes en abscisse. Quand le régime permanent est atteint, on bascule l'interrupteur K en position 2 à un instant pris comme nouvelle origine des dates (t=0) ; la courbe de la figure 3 représente la variation au cours du temps de la tension u_L aux bornes de la bobine : une sinusoïde graduée 3 volts en ordonnée, 1 et 2 millisecondes en abscisse.

Partie 2 — Oscillations forcées dans un circuit RLC série

On considère le circuit de la figure 4, comportant un générateur de basse fréquence (GBF) qui délivre une tension sinusoïdale u(t)=U_mcos(2πN.t + φ), N étant la fréquence du GBF ; un condensateur de capacité C réglable ; un conducteur ohmique de résistance R=20 Ω ; une bobine (b) d'inductance L=0,2 H et de résistance r. Un courant électrique d'intensité i(t)=I_mcos(2πN.t) circule dans le circuit. On visualise sur les entrées Y₁ et Y₂ de l'oscilloscope les tensions u(t) et u_R(t), avec u_R(t) la tension aux bornes du conducteur ohmique ; la sensibilité horizontale est 0,5 ms·div⁻¹ et la sensibilité verticale est la même pour les deux entrées. Pour une valeur C de la capacité du condensateur on obtient l'oscillogramme de la figure 5, où les deux tensions sont en phase.

Le saut à l'élastique. Le saut à l'élastique depuis les ponts et les tours est une activité sportive extrême encadrée par des professionnels. Le mouvement d'un sportif, lors d'un saut élastique, se déroule en deux phases : la première phase est une chute verticale dans l'air, la deuxième phase consiste à freiner le mouvement du sportif à l'aide d'une corde élastique de longueur à vide ℓ₀, pour ne pas heurter le sol (figure 1). Cet exercice se propose d'étudier le mouvement d'un sportif, qu'on modélise par un solide (S) homogène de centre d'inertie G, qui effectue un saut à l'élastique d'une hauteur h=102 m du sol. Données : la masse de (S) m=70 kg ; la longueur de (S) L=1,70 m ; l'intensité de la pesanteur g=9,8 m·s⁻². PHASE 1 — Chute verticale du sportif. Au cours de cette première phase de chute, le solide (S) est soumis à son poids P et à la force des frottements fluides f d'intensité f=λ.vⁿ, où λ est une constante positive, v la vitesse instantanée du centre d'inertie G et n un nombre sans unité. On néglige la poussée d'Archimède et l'action de la corde devant les autres forces. On étudie le mouvement du centre G dans un repère R(O ; k) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le suivi temporel du mouvement du centre G a permis de tracer les variations de dvdt en fonction de v (figure 2) : une courbe décroissante graduée 2 et 4 m·s⁻² en ordonnée, 5 et 10 m·s⁻¹ en abscisse. phase 2 — Étude théorique de la phase de freinage. Le but de cette étude est la détermination de la constante de raideur de la corde élastique qui assure un saut élastique sans que le sportif touche le sol. Pour cela, on assimile l'action de la corde à celle d'un ressort de longueur à vide ℓ₀=60 m, de masse négligeable et de constante de raideur K (figure 3). On étudie le cas extrême où les forces de frottement fluide sont négligeables. On étudie le mouvement du centre d'inertie G de (S) dans un repère R′(O′ ; k) lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen ; on repère la position de G à un instant t par sa cote z dans le repère R′(O′ ; k), telle que la cote de G est z=L2 lorsque ℓ=ℓ₀. On considère l'état où la corde n'est pas déformée (ℓ=ℓ₀) comme état de référence de l'énergie potentielle élastique (E_Pe=0) et le plan horizontal passant par G lorsque la corde n'est pas déformée comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_PP=0).