National 2024 · SM · session normale

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Étude d'une solution aqueuse d'acide carboxylique

Dans le laboratoire d'un lycée se trouve un flacon contenant une solution (S₀) d'acide carboxylique pur noté AH, de formule générale C_nH_2n+1COOH où n est un entier naturel. On veut déterminer la formule chimique de cet acide carboxylique et le pK_A du couple AH/A⁻ afin d'étudier sa réaction avec une solution aqueuse de méthanoate de sodium Na⁺_(aq) + HCOO⁻_(aq). Données : les masses molaires M(C)=12 g·mol⁻¹, M(O)=16 g·mol⁻¹, M(H)=1 g·mol⁻¹. 1 — Détermination du pK_A du couple AH/A⁻ et de la formule chimique de l'acide AH. On prépare une solution (S_A) de l'acide AH en dissolvant dans l'eau distillée une masse m=1,5 g de cet acide pur ; le volume de la solution obtenue est V=500 mL. On prend un volume V_A=20 mL de la solution (S_A) que l'on dose avec une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=3,4×10⁻² mol·L⁻¹. Le suivi pH-métrique a permis d'obtenir la courbe pH=f(V_B) représentant l'évolution du pH du mélange réactionnel en fonction de V_B, le volume d'hydroxyde de sodium versé (figure 1) : la courbe part d'un pH voisin de 3, présente un saut au voisinage de V_B=20 mL, et porte deux tangentes parallèles tracées de part et d'autre du saut ; les graduations sont 3 et 6 en pH, 10 et 20 en millilitres. 2 — Étude de la réaction de l'acide AH avec les ions méthanoate HCOO⁻. On mélange un volume V₁=50 mL d'une solution aqueuse de l'acide AH de concentration molaire C=1,0×10⁻² mol·L⁻¹ et un volume V₂=V₁ d'une solution aqueuse de méthanoate de sodium Na⁺_(aq) + HCOO⁻_(aq) de même concentration molaire C. On modélise la transformation qui a eu lieu par la réaction chimique d'équation AH_(aq) + HCOO⁻_(aq)⇌A⁻_(aq) + HCOOH_(aq). Données : les conductivités molaires ioniques, en mS·m²·mol⁻¹, valent 5,01 pour Na⁺, 5,46 pour HCOO⁻ et 3,58 pour A⁻ ; on néglige la contribution des ions H₃O⁺ et HO⁻ dans la conductivité de la solution ; l'expression de la conductivité σ d'une solution ionique est σ=∑_i λ_Xi.[X_i], où [X_i] est la concentration effective de chaque espèce chimique ionique présente dans la solution et λ_xi sa conductivité molaire ionique.

Partie 2 — Étude d'une pile nickel–cobalt

Une pile électrique est un dispositif électrochimique qui produit de l'électricité en convertissant une partie de l'énergie chimique en énergie électrique grâce à des réactions d'oxydo-réduction. On réalise une pile nickel–cobalt en plongeant une plaque de nickel dans un bécher contenant un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de nickel II Ni²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₁=[Ni²⁺]_i=10⁻² mol·L⁻¹, et une plaque de cobalt dans un autre bécher contenant un volume V=100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de cobalt II Co²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₂=[Co²⁺]_i. Les deux solutions sont reliées par un pont salin. On monte en série avec cette pile un conducteur ohmique, un ampèremètre et un interrupteur. On ferme le circuit ainsi formé à un instant de date t=0 ; un courant électrique d'intensité I, considérée constante, circule dans le circuit. Données : masse molaire du cobalt M(Co)=58,9 g·mol⁻¹ ; constante de Faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; la constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction Co²⁺_(aq) + Ni_(s)⇌Ni²⁺_(aq) + Co_(s), de sens direct (1) et de sens inverse (2), est Q_r,e=K à 25 ^∘C. La courbe de la figure 2 représente l'évolution temporelle du quotient de la réaction Q_r : elle part d'une valeur voisine de 5×10⁻² à t=0, décroît linéairement, puis atteint un palier voisin de 10⁻² ; les graduations sont 0,01 et 0,02 en ordonnée, 300 et 600 secondes en abscisse.

Partie 1 — Étude de la diffraction de la lumière

Le phénomène de diffraction permet de mettre en évidence la nature ondulatoire de la lumière. Une source laser produisant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ=750 nm éclaire un diaphragme circulaire de diamètre d réglable. On observe sur un écran placé à la distance D du diaphragme une tache lumineuse circulaire de diamètre L entourée d'anneaux alternativement sombres et clairs (figure 1). On fait varier d et on note la valeur de L correspondante ; la courbe de la figure 2 représente la variation de L en fonction de 1d : c'est une droite passant par l'origine, graduée 5,49 et 10,98 en millimètres sur l'axe des L, et 2 et 4 en mm⁻¹ sur l'axe des 1d. Données : la distance diaphragme-écran D=1,50 m ; la loi associée à la diffraction par un diaphragme circulaire a pour expression θ=αλd, avec θ l'écart angulaire exprimé en radian et α un coefficient de correction lié à la forme circulaire de l'ouverture.

Partie 2 — La radioactivité du polonium

Le noyau de polonium ²¹⁰₈₄Po se désintègre spontanément pour se transformer en un noyau de plomb ²⁰⁶₈₂Pb avec émission d'une particule α. Cette partie se propose d'étudier le bilan énergétique et l'évolution au cours du temps de cette transformation. Sur le diagramme de la figure 1 sont placées les valeurs de masse des systèmes suivants : les nucléons séparés, 84 ¹₁p + 126 ¹₀n, à 211,7030 u ; le noyau de polonium 210, à 209,9347 u ; le noyau de plomb 206 et la particule α, à 209,9315 u. Données : la masse molaire du polonium 210, M=210 g·mol⁻¹ ; unité de masse atomique 1 u =931,5 MeV·c⁻² ; constante d'Avogadro N_A=6,02×10²³ mol⁻¹. On désigne par N_D le nombre de noyaux de polonium désintégrés à un instant t et par N₀ le nombre de noyaux de polonium 210 contenus dans l'échantillon à t=0 ; la courbe de la figure 2 représente les variations de N_DN₀ en fonction du temps, graduée 0,25 et 0,5 en ordonnée, 69 et 138 jours en abscisse.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension et les oscillations forcées dans un circuit RLC série ; les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Étude du dipôle RC

On réalise le circuit électrique de la figure 1, qui comporte un générateur de tension idéal de force électromotrice E, un conducteur ohmique de résistance R₀, deux condensateurs (C₁) et (C₂) initialement déchargés de capacités respectives C₁=5 µF et C₂>C₁ montés en série, et un interrupteur K. On ferme l'interrupteur K à l'instant t=0. Les courbes de la figure 2 représentent l'évolution au cours du temps des tensions u₁, u₂ et u_R0 la tension aux bornes du conducteur ohmique ; (T) représente la tangente à la courbe (3) au point d'abscisse t=0. Les graduations sont 2 et 4 volts en ordonnée, 0,5 et 1 milliseconde en abscisse.

Partie 2 — Étude des oscillations forcées dans un circuit RLC série

On réalise le circuit électrique de la figure 3, qui comporte un générateur de basse fréquence (GBF) délivrant une tension alternative sinusoïdale de fréquence N constante et de tension maximale U_m constante, un condensateur de capacité C₀=10 µF, une bobine (b) d'inductance L=86 mH et de résistance r, et un conducteur ohmique de résistance R=20 Ω. Le générateur applique une tension u(t)=U_m.cos(2π.N.t + φ) ; un courant électrique d'intensité i(t)=I_m.cos(2π.N.t) circule alors dans le circuit. On visualise, à l'aide d'un système d'acquisition informatique adéquat, la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique et la tension u(t) aux bornes du générateur ; on obtient l'oscillogramme représenté sur la figure 4, dont les sensibilités portées sur la figure sont 2 V et 1,25 ms par division.

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Mouvement d'un système mécanique

On considère une poulie (P) de rayon r=5 cm susceptible de tourner dans un plan vertical autour d'un axe fixe (Δ) horizontal passant par son centre I, et dont le moment d'inertie par rapport à cet axe est J_Δ. On enroule autour de la poulie (P) un fil inextensible de masse négligeable ; à l'autre extrémité du fil est accroché un corps (S) de masse m=100 g et de centre d'inertie G. Lors du mouvement, le fil ne glisse pas sur la poulie (figure 1). On considère un point M de la circonférence de la poulie ; le point M part initialement de la position M₀ appartenant à la ligne verticale passant par I. Le centre d'inertie G du corps (S) part d'une position de cote z=0 dans le repère vertical (O,k). On repère, à tout instant, la position du centre d'inertie G par la cote z et la position du point M par l'abscisse angulaire θ=(IM₀,IM). On prend l'intensité de pesanteur g=10 m·s⁻². On néglige d'abord tous les frottements ; la courbe de la figure 2 représente l'évolution de la vitesse angulaire θ de la poulie en fonction du temps : c'est une droite qui part de 10 rad·s⁻¹ à t=0 et monte régulièrement, graduée 10 et 20 rad·s⁻¹ en ordonnée, 0,2 et 0,4 seconde en abscisse. À l'instant t₁=3 s le fil se coupe et le corps (S) poursuit sa chute ; on considère alors que la force de frottement fluide exercée par l'air s'écrit f=−μ.v².k, avec μ le coefficient de frottement et v la vitesse de G, et on néglige la poussée d'Archimède. La courbe de la figure 3 représente les variations de dvdt en fonction de v² : c'est une droite décroissante, graduée 1 et 2 m·s⁻² en ordonnée, 40 et 60 m²·s⁻² en abscisse, l'axe des abscisses portant une rupture près de l'origine.

Partie 2 — Mouvement d'un pendule élastique

Le pendule élastique est un système mécanique effectuant un mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre stable ; le but de cette partie est de déterminer quelques grandeurs liées à cet oscillateur. Le pendule étudié est constitué d'un solide (S), de centre d'inertie G et de masse m=100 g, attaché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K ; l'autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe. Le solide (S) peut glisser sans frottement sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle α=30^∘ par rapport au plan horizontal. On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans le repère orthonormé R(O,i,j) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen ; on repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O,i), et à l'équilibre l'abscisse de G est nulle (figure 4). Données : accélération de la pesanteur g=10 m·s⁻² ; on prend π²≃10. On écarte (S) de sa position d'équilibre et on l'envoie à un instant de date t=0 avec une vitesse V₀=V₀.i ; la courbe de la figure 5 représente l'évolution au cours du temps de la composante v_x du vecteur vitesse de G, dont l'ordonnée à l'origine vaut 0,158 m·s⁻¹, graduée 0,1 et 0,2 seconde en abscisse.