National 2023 · SM · session rattrapage

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Étude d'une solution aqueuse d'acide méthanoïque

L'acide méthanoïque, ou acide formique, est une substance naturelle sécrétée par les fourmis et les abeilles pour se défendre contre les prédateurs ; sa première isolation a été réalisée par distillation de corps de fourmis. Le but de cette partie est de vérifier par dosage le pourcentage massique de l'acide méthanoïque dans une solution commerciale, et d'étudier sa solution aqueuse. Dans les conditions ordinaires, l'acide méthanoïque est à l'état liquide. L'étiquette du flacon d'une solution commerciale (S₀) de cet acide porte les informations suivantes : formule chimique HCOOH ; densité d=1,15 ; pourcentage massique p=80 %. Données : p=80 % signifie que 100 g de solution commerciale contient 80 g d'acide pur ; la masse molaire de l'acide méthanoïque est M(HCOOH)=46 g·mol⁻¹ ; masse volumique de l'eau ρ_e=1 kg·L⁻¹. On prépare une solution aqueuse (S_A) d'acide méthanoïque de concentration molaire C_A et de volume V_S=1,0 L en ajoutant à l'eau distillée un volume V₀=2,0 mL de la solution commerciale (S₀) de concentration molaire C₀. On verse dans un bécher un volume V_A=50 mL de la solution (S_A) et on dose l'acide méthanoïque par une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=0,10 mol·L⁻¹. Les résultats de mesure du pH en fonction du volume V_B d'hydroxyde de sodium versé ont permis de tracer la courbe exprimant la variation de la concentration des ions oxonium dans le mélange réactionnel en fonction de 1V_B (figure 1) : c'est une droite, graduée en 10⁻⁴ mol·L⁻¹ en ordonnée et en L⁻¹ en abscisse, qui coupe l'axe des abscisses au voisinage de 1V_B=50 L⁻¹.

Partie 2 — Synthèse d'un ester

On réalise une estérification par chauffage à reflux d'un mélange de n₀=0,20 mol d'acide méthanoïque et de n₀=0,20 mol de propan-2-ol, et de quelques gouttes d'acide sulfurique concentré. Le suivi temporel de l'évolution de la quantité de matière n_A de l'acide méthanoïque restant dans le mélange a permis de tracer la courbe de la figure 2 : elle part de 0,20 mol à t=0, décroît, et atteint un palier voisin de 0,08 mol.

Datation par le couple rubidium-strontium. La méthode de datation par le couple rubidium-strontium est une technique de datation de formation des roches, basée sur la mesure des proportions des éléments rubidium et strontium dans différents minéraux (feldspath, mica…) de ces roches, sans avoir besoin de connaître les quantités de matière initiales des éléments rubidium et strontium. Le rubidium ⁸⁷₃₇Rb est un isotope radioactif qui se désintègre en strontium ⁸⁷₃₈Sr avec émission d'une particule ^A_ZX. Données : la constante radioactive du rubidium 87 est λ=1,42×10⁻¹¹ an⁻¹ ; les masses m(⁸⁷₃₇Rb)=86,8888823 u, m(⁸⁷₃₈Sr)=86,8880307 u, m(^A_ZX)=0,0005486 u ; 1 u =931,5 MeV·c⁻². Le minéral d'une roche granitique emprisonne lors de sa formation une quantité de rubidium radioactif ⁸⁷₃₇Rb et une quantité de strontium constituée des isotopes stables ⁸⁷₃₈Sr et ⁸⁶₃₈Sr. On désigne par t₀=0 l'instant de formation de la roche et de ses minéraux ; par N₀(⁸⁷₃₇Rb) le nombre de noyaux de rubidium 87 et N₀(⁸⁷₃₈Sr) le nombre de noyaux de strontium 87 présents dans le minéral de la roche à l'instant t₀ ; par N(⁸⁷₃₇Rb) et N(⁸⁷₃₈Sr) les nombres correspondants présents dans le même minéral à l'instant t ; par N(⁸⁶₃₈Sr) le nombre de noyaux de strontium 86 présents dans ce minéral. On note u et v les rapports, à un instant t, u=N(⁸⁷₃₇Rb)N(⁸⁶₃₈Sr) et v=N(⁸⁷₃₈Sr)N(⁸⁶₃₈Sr). La mesure expérimentale des rapports u et v à la même date t_a pour trois minéraux différents emprisonnés dans la roche a permis d'obtenir une droite portant les points « Minéral 1 », « Minéral 2 » et « Minéral 3 », graduée en 0,7 et 0,75 sur l'axe des v et en 5 sur l'axe des u.

Cet exercice a pour but d'étudier la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension et les oscillations dans un circuit RLC série ; les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage du circuit électrique représenté dans la figure 1, comportant un générateur de tension de force électromotrice E₀, un conducteur ohmique de résistance R₀, une bobine (b) d'inductance L et de résistance r, et un interrupteur K. On ferme l'interrupteur K à un instant pris comme origine des dates (t=0). Un système informatique adéquat a permis de tracer les courbes de la figure 2 représentant l'évolution temporelle de l'intensité du courant i(t) circulant dans le circuit et de la tension u(t) aux bornes de la bobine ; la droite (T) représente la tangente à la courbe représentant i(t) à t=0. Les deux diagrammes sont gradués en millisecondes en abscisse ; le diagramme de gauche porte la graduation 40 mA en ordonnée et le diagramme de droite la graduation 2 V.

Partie 2 — Oscillations dans un circuit RLC série

1 — Oscillations libres dans le circuit RLC. On monte en série, à la date t=0 (figure 3), un condensateur de capacité C initialement chargé, une bobine (b₁) d'inductance L₁=0,5 H et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance R=150 Ω. Un système informatique adéquat a permis d'obtenir les courbes de la figure 4 représentant l'évolution au cours du temps de l'intensité du courant i(t) circulant dans le circuit et de E_e(t) l'énergie emmagasinée dans le condensateur ; les deux diagrammes sont gradués en millisecondes en abscisse, le premier en milliampères et le second en millijoules. 2 — Oscillations forcées dans le circuit RLC. On réalise un circuit série comportant un générateur (GBF) délivrant une tension alternative sinusoïdale u(t)=U_mcos(2πN.t) de fréquence N, le conducteur ohmique de résistance R=150 Ω, la bobine (b₁) et un condensateur de capacité C₀. On visualise à l'aide d'un oscilloscope bi-courbe la tension u(t) sur la voie Y_A et la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique sur la voie Y_B ; on obtient les courbes de la figure 5. La sensibilité verticale pour les deux voies est 1 V·div⁻¹.

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Étude du mouvement d'un skieur

On se propose de déterminer quelques grandeurs caractéristiques du mouvement d'un skieur sur un plan incliné. Données : la masse du skieur et ses accessoires m=60 kg ; l'accélération de la pesanteur g=10 m·s⁻². Un skieur glisse sur une piste plane inclinée d'un angle α=30^∘ par rapport au plan horizontal, selon la ligne de plus grande pente. On modélise le skieur et ses accessoires par un solide indéformable de masse m et de centre d'inertie G (figure 1). On étudie le mouvement de G dans un repère orthonormé (O,i,j) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. À l'instant t=0, le centre G du skieur coïncide avec l'origine O et part sans vitesse initiale. Au cours du mouvement, le skieur est soumis, en plus de son poids, à l'action du plan incliné et à une force de frottement fluide exercée par l'air F=−μ.v i, où v est la vitesse de G à un instant t et μ une constante positive de valeur μ=1 dans le système d'unités international. On note R_T et R_N respectivement les composantes tangentielle et normale de l'action du plan incliné sur (S), avec ‖R_T‖=tanφ.‖R_N‖, φ étant l'angle de frottement solide, φ=26,6^∘.

Partie 2 — Séparation isotopique de masse

On se propose de déterminer le nombre de nucléons A d'un isotope de chlore par un spectrographe de masse (figure 2), constitué d'une chambre d'ionisation dans laquelle sont produits les ions ³⁵₁₇Cl⁻ et ^A₁₇Cl⁻ ; d'une chambre d'accélération dans laquelle règne un champ électrique uniforme E créé par une tension U₀ appliquée entre deux plaques verticales et parallèles (P₁) et (P₂) ; et d'une chambre de déviation dans laquelle règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure. On néglige le poids de l'ion devant les autres forces et on admet que la masse d'un ion est égale à la masse de son noyau m(^A_ZX)=A.m_n, avec m_n la masse d'un nucléon et A le nombre de nucléons. Données : e=1,6×10⁻¹⁹ C ; m_n=1,67×10⁻²⁷ kg ; U₀=10³ V ; B=0,1 T. On étudie le mouvement des ions dans un référentiel terrestre supposé galiléen.