National 2023 · SM · session normale

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 — Vérification de la masse de l'acide propanoïque dans un médicament

L'acide propanoïque C₂H₅COOH est un liquide que l'on prépare au laboratoire ; il est utilisé comme agent conservateur et entre dans la composition de certains médicaments et dans la synthèse de certains arômes. Cette partie consiste à vérifier, par dosage, la masse de l'acide propanoïque dans un médicament. Données : le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ à 25 ^∘C ; la masse molaire de l'acide propanoïque M(C₂H₅COOH)=74 g·mol⁻¹. Le médicament étudié est une solution aqueuse notée (S) ; son étiquette descriptive indique la présence de 46,2 mg d'acide propanoïque dans un volume V=40 mL de cette solution. Pour vérifier cette indication, on prépare, à 25 ^∘C, une solution (S_A) en introduisant dans un bécher un volume V_A=10 mL de la solution (S) auquel on ajoute V_e=50 mL d'eau distillée. On dose l'acide propanoïque présent dans (S_A) à l'aide d'une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=2,0×10⁻² mol·L⁻¹. Après l'ajout d'un volume V_B1=3,9 mL de la solution d'hydroxyde de sodium au mélange, la mesure du pH du mélange réactionnel donne la valeur pH₁=4,86. À l'équivalence, le volume de la solution d'hydroxyde de sodium ajouté est V_BE=7,8 mL.

Partie 2 — Étude de la pile plomb–étain

Les piles électrochimiques sont l'une des applications des réactions d'oxydo-réduction ; au cours de leur fonctionnement, une partie de l'énergie chimique se transforme en énergie électrique. On réalise, à 25 ^∘C, la pile plomb–étain en plongeant une plaque de plomb dans un bécher contenant un volume V₁=30 mL d'une solution aqueuse de nitrate de plomb Pb²⁺_(aq) + 2NO₃⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₁=[Pb²⁺]₀, et en plongeant une plaque d'étain dans un autre bécher contenant un volume V₂=V₁ d'une solution aqueuse de chlorure d'étain II Sn²⁺_(aq) + 2Cl⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₂=[Sn²⁺]₀=C₁. Les deux solutions sont reliées par un pont salin contenant une solution saturée de chlorure d'ammonium NH₄⁺_(aq) + Cl⁻_(aq). On monte en série entre les pôles de la pile un conducteur ohmique (D), un ampèremètre et un interrupteur. On ferme l'interrupteur à l'instant t=0 ; un courant d'intensité I=17,13 mA circule alors dans le circuit. La courbe donnée représente l'évolution temporelle de la concentration des ions Sn²⁺_(aq) : elle part de 20×10⁻³ mol·L⁻¹ à t=0, croît linéairement, puis atteint un palier voisin de 27,5×10⁻³ mol·L⁻¹ à partir de t≃2,5×10³ s. Donnée : la constante de Faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹. Soit K la constante d'équilibre, à 25 ^∘C, associée à l'équation de la réaction Pb_(s) + Sn²⁺_(aq)⇌Sn_(s) + Pb²⁺_(aq), de sens direct (1) et de sens inverse (2).

Propagation d'une onde mécanique à la surface de l'eau. On se propose d'étudier la propagation d'une onde mécanique à la surface de l'eau d'une piscine et d'en déduire la profondeur de l'eau. Une piscine de longueur L=47,5 m est constituée de deux parties : une partie pour les grands, de longueur L₁=30 m et de profondeur H₁ (milieu 1) ; une partie pour les petits, de longueur L₂ et de profondeur H₂ (milieu 2). La figure 1 représente une coupe longitudinale de la piscine contenant les points S, M et N de la surface libre de l'eau. À un instant de date t=0, on crée une onde transversale rectiligne sinusoïdale au niveau de S, situé au bord de la piscine. On reçoit cette onde à l'aide de deux récepteurs, l'un placé au point M et l'autre au point N (figure 1). On néglige l'amortissement et la réflexion des ondes. Les courbes de la figure 2 représentent les élongations des points M et N en fonction du temps : y_M (trait plein) quitte le repos à la date 7,5 s et y_N (trait discontinu) à la date 16,25 s, toutes deux de période 5 s. La vitesse de propagation de l'onde à la surface de l'eau est donnée par la relation V=√g.H, avec g=10 m·s⁻² l'intensité de pesanteur et H la profondeur de l'eau. Afin d'empêcher les petits de passer chez les grands, deux obstacles ont été placés au niveau du point M et séparés d'une distance a telle que a≪λ₁ ; la figure 3 représente une vue de dessus de la piscine.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1 — Le condensateur réel

Dans un circuit ouvert comportant un condensateur chargé se produit une décharge progressive et lente de ce condensateur au cours du temps ; la durée de décharge dépend de la qualité du diélectrique du condensateur. Un tel condensateur est appelé condensateur réel ou condensateur imparfait, et peut être modélisé par une association en parallèle d'un condensateur parfait de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R_d (résistance de fuite) — figure 1. 1 — Charge d'un condensateur réel. Le circuit électrique de la figure 2 comporte un générateur de tension de f.é.m. E, un conducteur ohmique de résistance R, un condensateur réel de capacité C=5 µF et de résistance de fuite R_d, et un interrupteur K. À un instant pris comme origine des dates t=0, on ferme l'interrupteur K. Un dispositif adéquat a permis de tracer l'évolution de la tension u_C en fonction du temps (figure 3), où (T) représente la tangente à la courbe à l'instant t=0 : la courbe part de zéro, la tangente (T) coupe l'asymptote au bout d'environ 2,5 ms, et la tension se stabilise à 12 V. 2 — Décharge du condensateur réel dans le cas où R_d≫R. Lorsque le régime permanent est établi, on ouvre l'interrupteur K à un instant considéré comme une nouvelle origine des dates (t=0).

Partie 2 — Réception d'une onde modulée en amplitude

Pour recevoir une onde radio de fréquence F_P=460 kHz modulée en amplitude par un signal de fréquence F_S=1 kHz, on utilise un dispositif simplifié constitué des quatre parties représentées dans la figure 4 : la partie X est un étage d'amplification suivi d'un haut-parleur ; la partie Y est un condensateur C″ en série suivi d'un conducteur ohmique R′ vers la masse ; la partie Z est une antenne reliée à une bobine d'inductance L en parallèle avec un condensateur de capacité C monté en série avec un condensateur C₁ réglable ; la partie W est une diode D suivie d'un conducteur ohmique R en parallèle avec un condensateur C′.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1 — Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

Le but de cette partie est de déterminer la valeur de l'intensité du champ de pesanteur g à une faible altitude. À un instant de date t=0, on lance d'un point situé à une hauteur h de la surface de la Terre un projectile de masse m, avec une vitesse initiale dont le vecteur V₀ fait un angle α avec l'axe horizontal (O,i). On néglige l'action de l'air et on étudie le mouvement du centre d'inertie G du projectile dans le repère d'espace (O, i, k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen (figure 1). La position de G est repérée, à un instant t, par ses coordonnées (x, z). La courbe de la figure 2 représente les variations de la norme v du vecteur vitesse en fonction du temps : elle part de 23 m·s⁻¹ à t=0, passe par un minimum voisin de 20 m·s⁻¹, puis remonte. La courbe de la figure 3 représente la trajectoire du mouvement de G dans le repère (O, i, k) ; M₁ et N₁ y sont les deux positions de même altitude z₁, M₂ et N₂ les deux positions de même altitude z₂>z₁, et H=z₂ − z₁.

Partie 2 — Mouvement d'un pendule élastique

On étudie le mouvement d'un oscillateur mécanique modélisé par un système (solide-ressort) constitué d'un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G, homogène de forme cubique d'arête a=2 cm, et d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. On fixe l'une des extrémités du ressort à un support et on accroche à l'autre extrémité le solide (S), qui peut glisser sur le plan horizontal (P). On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide (S) dans un repère R(O,i) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen ; on repère la position de G à un instant t par son abscisse x sur l'axe (O,i), et à l'équilibre l'abscisse de G est nulle (figure 1). On écarte (S) de sa position d'équilibre et on le lâche ; l'origine des dates (t=0) est choisie à un instant où l'abscisse x de G est positive. On choisit le plan horizontal (P) comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0) et l'état du système à l'équilibre comme état de référence de l'énergie potentielle élastique (E_pe=0). La courbe de la figure 2 représente l'évolution de l'énergie potentielle E_P du système en fonction du temps : elle oscille entre 2 mJ et 8 mJ. On néglige les frottements et on prend g=10 m·s⁻² et π²=10. L'équation horaire du mouvement de G s'écrit x(t)=x_m cos(2πT₀t + φ), T₀ étant la période propre de cet oscillateur.