National 2018 · SM · session rattrapage

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I-1 — Cinétique de la décomposition des ions hypochlorite

Vitesse volumique d'une réaction, réactions acido-basiques. L'eau de javel est un produit chimique d'utilisation courante. C'est un désinfectant très efficace contre les contaminations bactériennes et virales. Le principe actif de l'eau de javel est dû à l'ion hypochlorite ClO⁻. Cet ion a à la fois un caractère oxydant et un caractère basique. Dans cette partie de l'exercice on étudiera la cinétique de la décomposition des ions hypochlorite ClO⁻, et des réactions acido-basiques faisant intervenir le couple HClO_(aq)/ClO⁻_(aq). Suivi de l'évolution temporelle de la concentration molaire effective de l'ion hypochlorite ClO⁻. Durant la conservation de l'eau de javel, les ions hypochlorite ClO⁻ contenus dans cette eau se décomposent selon l'équation de la réaction 2ClO⁻_(aq)→2Cl⁻_(aq) + O_2(g). Dans des conditions expérimentales déterminées, on obtient les courbes de la figure 1 représentant l'évolution de [ClO⁻_(aq)]=f(t) à deux températures θ₁ et θ₂. On notera V le volume de la solution étudiée, supposé constant, et C₀=[ClO⁻_(aq)]₀ la concentration molaire de ClO⁻ à t=0. La figure 1 porte [ClO⁻_(aq)] en mol·L⁻¹ en ordonnée, graduée 0 · 0,1 · 0,2 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,1 mol·L⁻¹ — et le temps en SEMAINES en abscisse, gradué 10 puis 20, le pas valant donc 10 semaines. LES DEUX COURBES PARTENT DU MÊME POINT, C₀=0,5 mol·L⁻¹ à t=0, et décroissent toutes deux vers l'axe des temps, mais pas à la même allure ; elles sont désignées θ₁ et θ₂ par une étiquette posée à côté d'elles. La courbe θ₁ est celle qui reste AU-DESSUS : elle vaut 0,32 mol·L⁻¹ à t=5,3 semaines, 0,21 à t=10 semaines, 0,18 à t=12 semaines, 0,10 à t=19 semaines, 0,058 à t=25 semaines et 0,024 à t=35 semaines. La courbe θ₂ descend beaucoup plus vite : elle vaut 0,27 mol·L⁻¹ à t=3,7 semaines, 0,21 à t=5,3 semaines, 0,15 à t=7 semaines et 0,086 à t=10 semaines, et elle est pratiquement confondue avec l'axe au-delà de t=20 semaines. Une DROITE marquée « (T) » est tracée en plus : c'est la tangente à la courbe θ₁ au point d'abscisse t=0 ; elle part du point (0 ; 0,5) et coupe l'axe des temps au point (12 ; 0).

Partie I-2 — Solutions faisant intervenir le couple acide hypochloreux / hypochlorite

Étude de quelques solutions aqueuses faisant intervenir le couple HClO_(aq)/ClO⁻_(aq). Données : toutes les mesures sont effectuées à 25 ^∘C ; le produit ionique de l'eau K_e=10⁻¹⁴ ; la constante d'acidité du couple HClO_(aq)/ClO⁻_(aq) est K_A=5×10⁻⁸. La mesure du pH d'une solution aqueuse (S) d'acide hypochloreux HClO de concentration molaire C et de volume V donne pH=5,5. On définit la proportion de l'espèce basique ClO⁻ dans une solution par α(ClO⁻)=[ClO⁻]_éq[ClO⁻]_éq + [HClO]_éq. La courbe de la figure 2 représente l'évolution en fonction du pH de la proportion de l'une des formes basique ou acide (exprimée en pourcentage) du couple HClO_(aq)/ClO⁻_(aq). Cette planche porte le pourcentage en ordonnée, gradué 0 · 20 · 40 · 100 — le pas de la ligne forte vaut 20 % — et le pH en abscisse, gradué 1 · 5 · 10, le pas valant 1 unité de pH. UNE SEULE courbe est tracée, en forme de S DESCENDANT : elle est plaquée contre 100 % de pH=1 jusque vers pH=5,7, puis elle s'infléchit et descend — 94 % à pH=6,1, 81 % à pH=6,7, 69 % à pH=7,0, 53 % à pH=7,3, 36 % à pH=7,6, 22 % à pH=7,9, 12 % à pH=8,2, 3 % à pH=8,8 — et rejoint 0 % vers pH=9,5, où elle reste jusqu'au bord droit. On mélange ensuite un volume V_a d'une solution d'acide hypochloreux de concentration molaire C_a avec un volume V_b d'une solution d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_b=C_a ; le pH de la solution obtenue est pH=7,3.

Partie II — Accumulateur argent-fer

Les accumulateurs sont des convertisseurs d'énergie. Contrairement aux piles, dont les réactifs se détruisent de manière irréversible au cours du fonctionnement, les réactifs des accumulateurs peuvent être régénérés par une opération de recharge. Dans cet exercice on étudiera, d'une façon simplifiée, la décharge de l'accumulateur argent/fer. On réalise l'accumulateur schématisé dans la figure 3. La figure 3 montre DEUX béchers côte à côte, reliés en haut par un tube en U posé sur eux et légendé « Pont salin » : dans celui de gauche plonge une lame verticale hachurée, désignée « Lame de fer » par une flèche venant de la gauche, et la solution qu'il contient est désignée S₁ par une seconde flèche ; dans celui de droite plonge une lame identique, désignée « Lame d'argent » par une flèche venant de la droite, et sa solution est désignée S₂. Les deux lames sont reliées par le circuit extérieur, tracé en trait épais au-dessus des béchers. S₁ est une solution aqueuse de sulfate de fer (II) Fe²⁺_(aq) + SO₄²⁻_(aq) de concentration molaire initiale C₁=0,2 mol·L⁻¹ et de volume V₁=100 mL. S₂ est une solution aqueuse de nitrate d'argent Ag⁺_(aq) + NO⁻_3(aq) de concentration molaire initiale C₂=C₁ et de volume V₂=V₁. Données : le faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹ ; les couples Ox/Red Ag⁺_(aq)/Ag_(s) et Fe²⁺_(aq)/Fe_(s). L'accumulateur est branché aux bornes d'une lampe à l'instant t=0 ; l'intensité du courant dans le circuit est considérée constante, I=150 mA. La réaction spontanée est la réduction des ions argent et l'oxydation du fer, et l'on considérera que les espèces métalliques sont en excès.

Ondes ultrasonores. L'échographie est un outil du diagnostic médical. Sa technique utilise une sonde à ultrasons.

Partie 1 — Célérité d'une onde ultrasonore dans l'air

On se propose de déterminer la célérité d'une onde ultrasonore dans l'air à partir de la mesure de la longueur d'onde λ d'un signal émis par la sonde d'un échographe de fréquence N=40 kHz. Pour cela, on utilise un émetteur E produisant une onde périodique sinusoïdale de même fréquence que celle de la sonde. Les récepteurs R1 et R2 sont à égales distances de l'émetteur E. Lorsqu'on éloigne le récepteur R2 d'une distance d (figure 1), les deux sinusoïdes visualisées sur l'oscilloscope se décalent. Les deux courbes sont en phase à chaque fois que la distance d entre R1 et R2 est un multiple entier n de λ, avec n∈ℕ^*. La figure 1 est un schéma en blocs, sans aucune graduation : à gauche, un petit rectangle grisé légendé « Emetteur E » ; au-dessus de lui, un second rectangle grisé légendé « Récepteur R1 », d'où part un fil qui monte vers la droite jusqu'à l'oscilloscope ; au-dessous, un troisième rectangle légendé « Récepteur R2 », d'où part un autre fil vers l'oscilloscope, et devant lequel une double flèche horizontale cote la distance d. À droite, l'oscilloscope est dessiné comme un grand rectangle contenant son écran et ses boutons, et légendé « Oscilloscope » au-dessus. Dans l'expérience réalisée, on relève pour n=12 la distance d=10,2 cm.

Partie 2 — Application à l'échographie

La sonde échographique utilisée est à la fois un émetteur et un récepteur. Lorsque les ondes se propagent dans le corps humain, elles sont en partie réfléchies par les parois séparant deux milieux différents. La partie réfléchie de l'onde est reçue par la sonde puis analysée par un système informatique. La figure 2 représente le schéma du dispositif permettant l'échographie d'un fœtus. C'est un schéma sans graduation : un GRAND CERCLE, désigné « Coupe du ventre de la mère » par une flèche venant de la gauche, contient un PETIT CERCLE excentré vers le bas, désigné « Fœtus » par une autre flèche. En haut, posé sur le grand cercle, un rectangle vertical désigné « Sonde de l'échographe ». De la sonde descend une flèche verticale jusqu'au point M₁, sur la paroi supérieure du petit cercle : la distance correspondante est cotée ℓ₁. De M₁ repart une seconde flèche, plus courte, jusqu'au point M₂ situé plus bas sur le petit cercle : cette distance est cotée ℓ₂. Lors de l'examen, une salve d'ondes est émise par l'émetteur de la sonde à la date t=0. L'onde est réfléchie au point M₁ et au point M₂. La sonde reçoit la première onde réfléchie à la date t=t₁=80 μs et la deuxième à la date t=t₂=130 μs. On admet que la vitesse des ondes ultrasonores dans le corps humain est v_c=1540 m·s⁻¹.

Partie 3 — Diffraction de l'onde ultrasonore dans l'air

Le schéma expérimental représenté sur la figure 3 comporte l'émetteur E émettant l'onde ultrasonore de fréquence N=40 kHz, le récepteur R1 lié à un oscilloscope, une plaque métallique (P) percée d'une fente rectangulaire de largeur a très petite devant sa longueur, et une feuille graduée permettant de mesurer les angles en degrés. La figure 3 montre, à gauche, un petit rectangle grisé marqué E ; à sa droite, un trait vertical épais désigné (P) au-dessus, percé en son milieu au point F, la largeur a de la fente étant cotée juste à gauche de F par une petite double flèche verticale. À droite de la plaque s'ouvre un DEMI-CERCLE gradué, dont les traits de graduation rayonnent depuis F ; sur son arc, à droite et dans l'axe, un second rectangle grisé marqué R1, d'où part un fil légendé « Vers l'oscilloscope ». Un trait pointillé horizontal joint F à R1. On déplace le récepteur R1 dans le plan horizontal d'un angle θ sur l'arc de cercle de centre F et de rayon r=40 cm et on note, pour chaque amplitude U_m de l'onde reçue par R1, l'angle θ correspondant. On donne a=2,6 cm.

Les circuits des appareils électriques, utilisés dans plusieurs domaines de la vie courante, sont constitués de condensateurs, de bobines, de conducteurs ohmiques, de circuits intégrés… La première partie de cet exercice vise à étudier un dipôle (R,L) et un circuit (L,C) ; la deuxième partie a pour objectif l'étude de la modulation d'amplitude.

Partie I-1 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

Dipôle RL et circuit LC. On réalise le montage expérimental représenté sur la figure 1, comprenant un générateur de tension de f.é.m. E=1,5 V, un conducteur ohmique de résistance R RÉGLABLE, une bobine (b) d'inductance L et de résistance r, et un interrupteur K. La figure 1 montre une maille rectangulaire : en haut, le courant i part vers la droite, désigné par une flèche ; à droite, la bobine (b) dessinée en spirale, puis, au-dessous d'elle, le conducteur ohmique R dans un rectangle barré d'une flèche oblique — la marque du composant RÉGLABLE ; à gauche, l'interrupteur K en haut et le générateur E encerclé en bas, la flèche de E montant. À un instant choisi comme origine des dates (t=0), on ferme l'interrupteur K et on suit l'évolution de l'intensité du courant i(t) qui traverse le circuit à l'aide d'un système d'acquisition adéquat. Les courbes (C1) et (C2) de la figure 2 représentent l'évolution de i(t) respectivement pour R=R₁ et R=2R₁ ; la droite (T) est la tangente à la courbe (C1) au point d'abscisse t=0. Cette planche porte i en mA en ordonnée, graduée 0 · 25 · 50 — le pas de la ligne forte vaut donc 12,5 mA, les graduations chiffrées tombant sur une ligne forte sur DEUX — et le temps en ms en abscisse, gradué 0 · 50 · 100, le pas valant 50 ms. Les deux courbes partent de i=0 à t=0, croissent en s'incurvant et rejoignent chacune un PALIER horizontal : 125 mA pour (C1), la courbe du haut, et 75 mA pour (C2), celle du bas. (C1) vaut environ 39 mA à t=16 ms, 72 mA à t=29 ms, 105 mA à t=43 ms et 118 mA à t=157 ms ; (C2) vaut environ 32 mA à t=16 ms, 46 mA à t=29 ms, 63 mA à t=56 ms et 73 mA à t=110 ms. La droite (T), tracée en TIRETS, part de l'origine, monte d'environ 2,5 mA par milliseconde et coupe le palier 125 mA à t=50 ms.

Partie I-2 — Étude d'un circuit LC

On utilise dans cette étude une bobine (b′) d'inductance L=0,6 H et de résistance négligeable. Après avoir chargé, totalement, un condensateur de capacité C sous une tension constante U₀, on le branche aux bornes de la bobine (b′) (figure 3). La figure 3 montre une maille rectangulaire simple : à gauche, le condensateur C, aux bornes duquel on relève u_C — sa flèche monte — et sous lequel le courant i est désigné ; à droite, la bobine L, dessinée en spirale. La tension aux bornes du condensateur peut s'écrire sous la forme u_C(t)=U₀cos(2πf₀ t + φ), où f₀ est la fréquence propre du circuit. La courbe de la figure 4 représente la variation de l'énergie magnétique E_m emmagasinée dans la bobine en fonction du CARRÉ de la tension u_C aux bornes du condensateur, E_m=f(u_C²). Cette planche porte E_m en mJ en ordonnée, graduée 0 · 0,1 · 0,2 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,1 mJ — et u_C² en V² en abscisse, gradué 0 · 100 · 200, le pas valant 100 V². Le tracé est une DROITE DESCENDANTE : elle part de E_m=0,4 mJ pour u_C²=0, descend régulièrement — environ 0,1 mJ par 100 V² — et coupe l'axe des abscisses pour u_C²=400 V². Points lisibles : 0,31 mJ à 85 V², 0,21 mJ à 180 V², 0,13 mJ à 274 V², 0,059 mJ à 342 V².

Partie II — Modulation d'amplitude

Afin de produire une onde hertzienne modulée en amplitude, on réalise le montage schématisé sur la figure 5, où X représente un circuit intégré multiplieur ; le coefficient du circuit multiplieur est k. La figure 5 montre le multiplieur, un rectangle marqué X, avec les deux entrées E₁ (en haut) et E₂ (en dessous) sur son côté gauche, atteintes par deux flèches montantes marquées u₁(t) et u₂(t) ; à droite, la sortie S, d'où descend le fil sur lequel on relève u_s(t) par rapport à la masse, figurée en bas à droite. On applique à l'entrée E₁ la tension u₁(t)=6cos(4×10⁵πt) et à l'entrée E₂ la tension u₂(t)=2cos(8×10³πt) + 5. La tension de sortie u_s(t) obtenue est u_s(t)=k u₁(t) u₂(t)=3[1 + 0,4cos(8×10³πt)]cos(4×10⁵πt). Toutes les tensions sont exprimées en volt (V). Rappel : cos acos b=12[cos(a+b) + cos(a−b)]. On demandera de représenter le spectre de fréquences en choisissant l'échelle 1 cm/V pour les amplitudes ; le circuit bouchon envisagé est constitué par la bobine et le condensateur précédents.

Les deux parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Mouvement du skieur sur le plan incliné

Mouvement d'un skieur. Cette partie de l'exercice décrit un modèle très simplifié du mouvement du centre d'inertie G d'un skieur dans deux phases de son parcours : une première phase, mouvement rectiligne du skieur sur un plan incliné ; une deuxième phase, chute libre du skieur dans le champ de pesanteur uniforme. Données : masse du skieur m=60 kg ; intensité de l'accélération de la pesanteur g=9,8 m·s⁻². On néglige l'action de l'air. Première phase : mouvement du skieur sur un plan incliné. On étudie le mouvement du centre d'inertie G du skieur dans le repère (O,i₁,j₁) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen (figure 1). La figure 1 montre, en bas à gauche, le point O au pied d'une longue bande rectiligne montant vers la droite : c'est la piste (P), désignée par son nom au milieu. En O sont tracés les vecteurs i₁, dirigé le long de la pente vers le haut à droite, et j₁, perpendiculaire à la pente ; l'angle α est coté entre la pente et l'horizontale. Un peu plus haut sur la pente, le skieur est figuré par un petit personnage dont le centre d'inertie G est marqué ; de lui part vers le haut à droite un trait légendé « Câble », et l'angle β est coté entre ce câble et l'horizontale en pointillé. L'axe x₁ prolonge la pente vers le haut à droite jusqu'au sommet S, marqué en haut ; en S sont tracés les vecteurs i et j d'un NOUVEAU repère, l'axe x horizontal vers la droite et l'axe y vertical vers le haut, ainsi que le vecteur vitesse v_s, incliné de l'angle α sur l'horizontale. À droite de S descend une seconde pente rectiligne, désignée (P′), faisant l'angle θ avec la verticale pointillée issue de S ; le point B y est marqué d'un gros point. Pour atteindre le sommet S d'une piste (P) rectiligne inclinée d'un angle α=23^∘ par rapport à l'horizontale, le skieur part du point O sans vitesse initiale à t=0. Il est accroché à un câble rigide faisant un angle β=60^∘ avec l'horizontale. Le câble exerce sur le skieur une force de traction F constante dirigée selon la direction du câble (figure 1). Durant toute cette phase, le skieur reste constamment en contact avec le sol. On note R_T et R_N respectivement les composantes tangentielle et normale de l'action du plan incliné sur le skieur, avec ‖R_T‖=k‖R_N‖, k étant le coefficient de frottement solide, et ‖R_T‖=f=80 N. La courbe de la figure 2 représente la variation de la vitesse v en fonction du temps. Cette planche porte v en m·s⁻¹ en ordonnée, graduée 0 · 0,5 · 1 — le pas de la ligne forte vaut donc 0,5 m·s⁻¹ — et le temps en secondes en abscisse, gradué 1 puis 2, le pas valant 1 s. Le tracé est une DROITE qui part de l'ORIGINE et monte régulièrement jusqu'au coin supérieur droit du cadre : elle vaut 0,20 m·s⁻¹ à t=0,39 s, 0,46 m·s⁻¹ à t=0,93 s, 1,0 m·s⁻¹ à t=2,0 s, 1,5 m·s⁻¹ à t=3,0 s et 2,4 m·s⁻¹ à t=4,9 s.

Partie I-2 — Phase du saut

Deuxième phase : phase du saut. Le skieur arrivant au sommet S de la piste (P) lâche le câble et quitte la piste à un instant choisi comme une nouvelle origine des dates, avec une vitesse v_s faisant l'angle α avec l'horizontale et de valeur v_s=10 m·s⁻¹ (figure 1). On étudie le mouvement du centre d'inertie G du skieur dans le repère (S,i,j) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen. Soit B la position de G sur la piste (P′), qui est inclinée d'un angle θ=45^∘ par rapport à l'horizontale (figure 1).

Partie II — Mouvement d'un pendule simple

On considère un métronome que l'on modélise par un pendule simple formé par une tige rigide de masse négligeable et de longueur ℓ=24,8 cm, à laquelle est suspendue une petite bille de masse m=20 g et de dimensions négligeables devant ℓ. Quand on écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle θ_m, il oscille dans un plan vertical entre les positions limites A et B autour d'un axe (Δ) horizontal passant par O (figure 3). La figure 3 montre, à gauche, l'axe vertical z avec le vecteur k dirigé vers le haut et l'origine O à son pied ; à droite, en haut, le point O du pendule, marqué d'un gros point et désigné (Δ). De ce point partent DEUX traits obliques symétriques, en pointillé à gauche et en trait plein à droite, qui figurent les deux positions extrêmes de la tige ; leurs extrémités sont marquées B à gauche et A à droite, d'un gros point chacune, et reliées par un ARC DE CERCLE en pointillé passant par le point S, le plus bas — la position d'équilibre. La verticale pointillée issue de O descend jusqu'à S ; les angles −θ_m et +θ_m sont cotés de part et d'autre d'elle par une double flèche horizontale, et la longueur ℓ est cotée le long de la tige de droite. Le métronome émet un signal sonore lorsque la bille arrive en A et il émet le même signal lors de son arrivée en B. On repère la position du pendule par l'abscisse angulaire θ à un instant t. Données : accélération de la pesanteur g=9,81 m·s⁻² ; pour les oscillations de faible amplitude, on prend cosθ≈1 − θ²2, θ en radian ; le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation (Δ) est J_Δ=m ℓ². Les frottements sont négligeables. On écarte le pendule, de sa position d'équilibre stable, d'un angle petit θ_m=8^∘ et on le libère de la position A à l'instant t₀=0 sans vitesse initiale. On choisit comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal passant par la position de la bille au point S.