National 2015 · SM · session rattrapage

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I-1 — Étude d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque

Étude d'une solution d'acide éthanoïque et synthèse d'un ester. La menthe poivrée est une plante dont l'huile essentielle contient un ester, l'éthanoate de menthyle, que l'on peut synthétiser au laboratoire à partir de l'acide éthanoïque CH₃COOH et du menthol de formule brute C₁₀H₂₀O. On dispose d'une solution aqueuse (S_A) d'acide éthanoïque de concentration molaire C_A=10⁻² mol·L⁻¹, dont la mesure de conductivité donne σ=1,6×10⁻² S·m⁻¹. Données — toutes les mesures sont effectuées à 25 °C; la conductivité d'une solution aqueuse s'écrit σ=∑_iλ_Xi[X_i], où [X_i] est la concentration molaire effective de l'espèce ionique X_i dissoute et λ_Xi sa conductivité molaire ionique; λ_H3O⁺=3,49×10⁻² S·m²·mol⁻¹; λ_CH3COO⁻=4,09×10⁻³ S·m²·mol⁻¹; on néglige l'influence des ions HO⁻ sur la conductivité de la solution.

Partie I-2 — Synthèse de l'éthanoate de menthyle

On introduit dans un erlenmeyer maintenu dans la glace n₁=0,2 mol d'acide éthanoïque, n₂=0,2 mol de menthol et quelques gouttes d'acide sulfurique concentré; le mélange ainsi obtenu a un volume V=46 mL. On le répartit à volumes égaux dans des tubes à essais scellés hermétiquement, plongés simultanément dans un bain-marie à la température θ, et on déclenche le chronomètre. À intervalles de temps réguliers on ressort un tube, on le place dans de l'eau glacée, puis on dose l'acide restant par une solution d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq)+HO⁻_(aq). Les résultats donnent la courbe d'évolution de la quantité de matière d'acide éthanoïque restant dans l'erlenmeyer, n_r=f(t), la droite (T) étant la tangente à la courbe en t=0. Lecture de cette courbe — elle part de n_r=0,2 mol, la tangente (T) coupe l'axe des temps à t=100 min, la courbe passe par n_r=0,14 mol vers t=42 min et tend vers le palier n_r=0,08 mol.

Partie II — Synthèse industrielle du dichlore par électrolyse

synthèse industrielle du dichlore gazeux, obtenu par électrolyse d'une solution aqueuse concentrée de chlorure de sodium Na⁺_(aq)+Cl⁻_(aq) au moyen de deux électrodes spéciales. Données — volume molaire V_m=24 L·mol⁻¹; constante de Faraday 1F=9,65×10⁴ C·mol⁻¹; couples oxydant/réducteur Cl_2(g)/Cl⁻_(aq), H₂O_(l)/H_2(g) et O_2(g)/H₂O_(l). L'équation globale modélisant cette transformation s'écrit 2H₂O_(l)+2(Na⁺_(aq)+Cl⁻_(aq))⟶H_2(g)+2(Na⁺_(aq)+HO⁻_(aq))+Cl_2(g).

Le but de cet exercice est d'étudier la propagation d'une onde lumineuse émise par une source laser à travers un prisme (P) en verre d'indice de réfraction n pour cette radiation; la longueur d'onde de cette radiation dans l'air est λ₀. Données — célérité de la lumière dans l'air c≃3×10⁸ m·s⁻¹; 1 MeV =1,6×10⁻¹³ J; constante de Planck h=6,63×10⁻³⁴ J·s; indice de réfraction du prisme n=1,61; λ₀=633 nm. Un faisceau de lumière monochromatique de longueur d'onde λ₀ émis par la source laser est envoyé sur l'une des faces du prisme (P), et la lumière qui en sort est reçue sur un écran (E).

L'objectif de cet exercice est d'étudier la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension, les oscillations non amorties dans un circuit LC et les oscillations forcées dans un dipôle RLC série.

Partie I-1 — Réponse du dipôle RC à un échelon de tension

Le circuit de la figure 1 comporte un générateur de force électromotrice E et de résistance interne négligeable, une bobine (b) d'inductance L₀ et de résistance négligeable, deux conducteurs ohmiques de résistances r et R=20 Ω, un condensateur de capacité C réglable initialement déchargé, et un interrupteur K. Le générateur et le conducteur ohmique de résistance r sont montés en série; la voie Y_B affiche la tension entre leur point commun et la masse, et la voie Y_A la tension u_C(t) aux bornes du condensateur. On fixe la capacité sur la valeur C₀ et, à l'instant t=0, on place K en position (1); un système d'acquisition trace les courbes (Γ₁) et (Γ₂) de la figure 2, la droite (T) étant la tangente à (Γ₁) en t=0. Lecture de la figure 2 — (Γ₁) part de 0 V, (Γ₂) part de 4 V, les deux courbes tendent vers la même asymptote 6 V, et la tangente (T) coupe cette asymptote à t=0,15 ms.

Partie I-2 — Oscillations non amorties du circuit LC idéal

Une fois le régime permanent établi, on bascule K en position (2) à un instant choisi comme nouvelle origine des dates, ce qui donne un circuit LC. La figure 3 représente l'évolution de l'énergie électrique E_e(t) emmagasinée dans le condensateur — elle part de son maximum E_e max, s'annule une première fois à t=1,25 ms et repasse par son maximum à t=2,5 ms.

Partie II — Oscillations forcées dans un dipôle RLC série

le circuit de la figure 4 comporte un générateur basse fréquence délivrant la tension sinusoïdale u_AB(t)=U_mcos(2πN t), un conducteur ohmique de résistance R=20 Ω, un condensateur de capacité C réglable, une bobine d'inductance L et de résistance r_b=8,3 Ω, et un voltmètre. 1 — On fixe la capacité sur la valeur C₁ et on visualise u_R(t) sur la voie Y₁ et u_AB(t) sur la voie Y₂; l'oscillogramme de la figure 5 est réglé à 3 V par division verticale et 1,25 ms par division horizontale. Lecture de la figure 5 — la courbe (1) a une amplitude d'une division, la courbe (2) une amplitude de deux divisions, la période occupe quatre divisions, et la courbe (1) est en retard d'une demi-division sur la courbe (2). 2 — On fixe ensuite la capacité sur la valeur C₂=10 µF en gardant les mêmes valeurs de U_m et de N; le voltmètre indique alors U_DB=3 V.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — Mouvement d'une balle de tennis dans le champ de pesanteur

En simple messieurs, deux joueurs occupent l'un la zone (A) et l'autre la zone (B); les deux zones ont chacune une longueur L et sont séparées par un filet, et chaque joueur tente de faire tomber la balle dans la zone de l'adversaire. On étudie le mouvement du centre d'inertie G d'une balle de tennis dans le repère orthonormé (O,i,k) lié à un référentiel terrestre que l'on considérera comme galiléen, l'axe des x étant horizontal et l'axe des z vertical ascendant. Le joueur de la zone (A) renvoie la balle, à l'instant choisi comme origine des dates (t=0), du point O avec une vitesse initiale V₀ qui forme un angle α avec l'horizontale; le point O se trouve à la distance D du filet et à la hauteur h de la surface du sol, et l'adversaire se tient à la distance d au-delà du filet. Données — on néglige les frottements et les dimensions de la balle, et on prend g=9,8 m·s⁻²; d=1 m; D=13 m; h=0,7 m; L=12 m; V₀=13 m·s⁻¹; α=45^∘.

Partie II — Étude du mouvement d'un pendule pesant, périodique puis amorti

étude du mouvement d'un pendule pesant de centre d'inertie G et de masse m, constitué d'une tige et d'un corps solide (S), mobile en rotation autour d'un axe horizontal fixe (Δ) passant par l'extrémité O de la tige. On désigne par J_Δ le moment d'inertie du pendule par rapport à (Δ) et par L la distance séparant G de cet axe. Pour créer un amortissement on utilise des plaques légères, de masse négligeable et de surfaces différentes. Données — g=9,8 m·s⁻²; m=400 g; L=50 cm; pour les oscillations de faible amplitude on prendra sinθ≃θ et cosθ≃1−θ²2, avec θ en radian. On réalise trois expériences — avec une plaque de surface S₁, avec une plaque de surface S₂ supérieure à S₁, et sans aucune plaque. Dans chacune, on écarte le pendule de sa position d'équilibre stable, dans le sens positif, d'un angle θ_m très petit, puis on le lâche sans vitesse initiale à l'instant t=0; on repère à chaque instant sa position par l'abscisse angulaire θ, et la figure 2 donne θ(t). Lecture de la figure 2 — les deux courbes partent de θ_m=0,13 rad; celle du régime périodique garde cette amplitude et a pour période 0,70 s; celle du régime pseudopériodique passe par un premier maximum de 0,08 rad, puis par un second de θ₁=0,048 rad à l'instant t₁≃1,4 s.