National 2010 · SM (traduit de l'arabe) · session normale

Partie I — Étude de l'hydrolyse d'un ester

Deux composés organiques, (A) l'éthanoate de 3-méthylbutyle et (B) le butanoate de propyle, ont la même formule brute C₇H₁₄O₂ et possèdent le même groupe caractéristique, mais n'ont pas la même formule semi-développée : (A) CH₃−COO−CH₂−CH₂−CH(CH₃)−CH₃ ; (B) CH₃−CH₂−CH₂−COO−CH₂−CH₂−CH₃. Le composé (A) se distingue par le goût et l'arôme de la banane et il est utilisé comme additif dans l'industrie alimentaire ; le composé (B), lui, est utilisé dans l'industrie des parfums. Données : masses molaires moléculaires : M(A)=M(B)=130 g·mol⁻¹ ; M(H₂O)=18,0 g·mol⁻¹ ; masse volumique de l'eau : ρ(H₂O)=1,00 g·mL⁻¹ ; masse volumique du composé (A) : ρ(A)=0,870 g·mL⁻¹ ; constante d'acidité du couple CH₃COOH/CH₃COO⁻ à 25 °C : K_A=1,80·10⁻⁵ ; produit ionique de l'eau à 25 °C : K_e=1,00·10⁻¹⁴. I — Le groupe caractéristique. II — Étude de l'hydrolyse du composé (A). On dissout 30,0 mL d'éthanoate de 3-méthylbutyle dans un volume d'eau, pour obtenir un mélange réactionnel de volume 100 mL. On répartit 50,0 mL du mélange réactionnel à parts égales dans 10 béchers, chaque bécher contenant 5,00 mL du mélange, et l'on garde 50,0 mL de ce mélange dans un ballon. À l'instant t=0, on place tous les béchers et le ballon dans un bain-marie de température constante θ. À un instant t, on sort un bécher du bain-marie et on le place dans de l'eau glacée, puis on dose la quantité de matière n de l'acide formé au moyen d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration C_B. On réalise ce dosage en présence d'un indicateur coloré adéquat. On refait le même dosage pour les autres béchers, à des instants différents. On note V_BE le volume de la solution d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence. Les résultats de ce dosage permettent de déduire la courbe d'évolution de la quantité de matière n_T de l'acide formé dans le ballon en fonction du temps, n_T=f(t) (figure 1).

Partie II — Synthèse d'un ester

Pour comparer l'action de l'acide butanoïque et celle de l'anhydride butanoïque sur le propan-1-ol, on réalise deux synthèses au moyen du dispositif représenté sur la figure 2. Première synthèse : on introduit dans le ballon une quantité de matière n_i de propan-1-ol et une quantité en excès d'acide butanoïque. Seconde synthèse : on introduit dans le ballon la même quantité de matière n_i de propan-1-ol et une quantité en excès d'anhydride butanoïque. Les courbes expérimentales (1) et (2) représentent respectivement l'évolution de l'avancement de la réaction au cours de la première synthèse et au cours de la seconde (figure 3).

Datation des sédiments marins. Le thorium ²³⁰₉₀Th est utilisé pour dater les coraux et les sédiments marins, car la concentration du thorium à la surface du sédiment en contact avec l'eau de mer reste constante, et elle diminue avec la profondeur à l'intérieur du sédiment.

Étude du régime transitoire dans une bobine et dans un condensateur. On peut obtenir des oscillations électriques libres non amorties en montant en série un condensateur et une bobine d'inductance L et de résistance r, et en ajoutant un générateur à résistance négative, qui compense à chaque instant l'énergie dissipée par effet Joule. Cet exercice a pour but d'étudier le régime transitoire qui s'établit dans le circuit entre l'instant de la fermeture de l'interrupteur et l'instant où commence le régime permanent, pour la bobine comme pour le condensateur ; il aborde aussi l'échange d'énergie entre le condensateur et la bobine au cours des oscillations électriques.

Partie 1 — Étude du régime transitoire dans une bobine

On réalise le montage expérimental représenté sur la figure 1, pour suivre l'établissement du courant électrique dans un dipôle (AB) constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L et de résistance r. Le générateur électrique idéal applique une tension constante E=6,0 V entre les bornes du dipôle (AB). Pour les questions 1.1.a à 1.1.c : on règle la résistance sur la valeur R=50 Ω et l'on ferme l'interrupteur K à l'instant t=0 ; on enregistre, au moyen d'un dispositif adapté, l'évolution de l'intensité i du courant qui traverse le circuit en fonction du temps t, et l'on obtient la courbe représentée sur la figure 2. Le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe i=f(t) à l'instant t=0 est a=100 A·s⁻¹ (figure 2). La tension u entre les bornes du dipôle (AB) s'exprime par la relation u=(R + r) i + L didt. Pour les questions 1.2.a et 1.2.b : on utilise le même montage expérimental (figure 1), en changeant dans chaque cas l'inductance L de la bobine et la résistance R du conducteur ohmique, comme l'indique le tableau suivant : premier cas, L₁=6,0·10⁻² H, R₁=50 Ω, r=10 Ω ; deuxième cas, L₂=1,2·10⁻¹ H, R₂=50 Ω, r=10 Ω ; troisième cas, L₃=4,0·10⁻² H, R₃=30 Ω, r=10 Ω. La figure 3 donne les courbes (a), (b) et (c) obtenues dans les trois cas.

Partie 2 — Étude du régime transitoire dans un condensateur

Dans le montage représenté sur la figure 1, on remplace la bobine par un condensateur de capacité C=20 µF, initialement non chargé, et l'on règle la résistance du conducteur ohmique sur la valeur R=50 Ω. On ferme l'interrupteur à l'instant t=0, et l'on observe, au moyen d'un dispositif adapté, l'évolution de la tension u_C entre les bornes du condensateur en fonction du temps.

Partie 3 — Étude de l'échange d'énergie entre le condensateur et la bobine

On réalise le montage représenté sur la figure 4, constitué d'une bobine d'inductance L et de résistance r ; d'un condensateur de capacité C=20 µF, préalablement chargé sous la tension U₀=6,0 V ; d'un générateur G qui compense exactement l'énergie dissipée dans le circuit par effet Joule. On ferme l'interrupteur K : il passe alors dans le circuit un courant électrique d'intensité i=I_mcos(2πT₀ t), où T₀ est la période propre du circuit (LC) : T₀=2π√L C.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I — La chute verticale d'un corps solide

Tout corps solide immergé dans un fluide est soumis à la poussée d'Archimède ; si ce corps est en mouvement de translation dans le fluide, il est soumis de plus à une force de frottement fluide. Cet exercice a pour but d'étudier l'évolution de la vitesse de deux billes de verre homogènes (a) et (b), de rayons différents, en mouvement de translation dans une huile, à vitesse relativement faible. Données : masse volumique du verre : ρ=2600 kg·m⁻³ ; masse volumique de l'huile : ρ₀=970 kg·m⁻³ ; viscosité de l'huile : η=8,00·10⁻² N·m⁻²·s ; intensité de la pesanteur : g=9,81 m·s⁻² ; volume d'une bille de rayon r : V=43π r³. On libère au même instant t=0 les billes (a) et (b) à la surface de l'huile contenue dans un tube cylindrique transparent vertical ; la hauteur de l'huile dans le tube est H=1,00 m (figure 1). On étudie le mouvement de la bille (a) dans le repère (O,i) lié à la Terre. Au cours de son mouvement dans l'huile, la bille est soumise à la poussée d'Archimède F=−ρ₀ V g i, à la force de frottement fluide f=−6π η r v i, où v est la vitesse de la bille, et à son poids P=m g. On note τ le temps caractéristique du mouvement de la bille (a), et l'on considère que la vitesse de la bille atteint la valeur limite v_ℓ au bout de la durée 5τ.

Partie II — Changement des conditions initiales du mouvement d'un oscillateur non amorti

Un système mécanique oscillant est un système mécanique qui effectue un mouvement périodique de va-et-vient autour de sa position d'équilibre stable. Un pendule élastique horizontal est constitué d'un corps solide (S) de masse m, fixé à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K ; l'autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe, comme le montre la figure 2. À l'équilibre, le centre d'inertie G du corps (S) coïncide avec l'origine O du repère d'espace (O,i) lié à la Terre. On écarte le corps (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif, jusqu'à ce que son centre d'inertie G coïncide avec un point A situé à la distance d de O. On considère les deux cas suivants. Premier cas : on lâche le corps (S) au point A, sans vitesse initiale, à un instant t=0. Deuxième cas : on lance le corps (S) à partir du point A, dans le sens négatif, avec une vitesse initiale v_A, à un instant t=0. Dans les deux cas, le corps (S) effectue un mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre O. Pour les questions 4.1 à 4.3 : on considère l'oscillateur dans le deuxième cas, et l'on note x_m2 l'amplitude de son mouvement et φ₂ sa phase à l'origine des dates.