National 2009 · SM (traduit de l'arabe) · session rattrapage

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — L'acide lactique

L'acide lactique est un acide organique qui joue un rôle important dans diverses activités biochimiques. L'acide lactique, de formule CH₃CHOHCOOH, est produit par la fermentation du lactose du lait sous l'action de bactéries. La teneur du lait en acide lactique est considérée comme un indicateur de sa fraîcheur : le lait est frais si la concentration massique C_m de l'acide lactique qu'il contient ne dépasse pas 1,8 g·L⁻¹. Cette partie a pour but de déterminer l'acidité d'un lait quelques jours après sa conservation dans une bouteille. Pour simplifier, on note le couple CH₃CHOHCOOH/CH₃CHOHCOO⁻ par AH/A⁻, et on considère que l'acidité du lait est due uniquement à la présence de l'acide lactique. Données : masse molaire moléculaire de l'acide lactique : M(C₃H₆O₃)=90 g·mol⁻¹ ; produit ionique de l'eau à 25 °C : K_e=10⁻¹⁴. 1 — Étude de l'équation de la réaction de dosage. On verse dans un bécher un volume V_A=20 mL d'une solution aqueuse (S_A) d'acide lactique de concentration molaire C_A=2,0·10⁻² mol·L⁻¹, et on y ajoute un volume V_B=5,0 mL d'une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=5,0·10⁻² mol·L⁻¹. On mesure le pH du mélange obtenu : on trouve pH=4,0. 2 — Détermination de la concentration massique C_m d'un lait. On verse dans un bécher un volume V′_A=20 mL d'un lait (S), et on le dose au moyen de la solution aqueuse précédente (S_B), à l'aide du montage expérimental représenté sur la figure 1 ; on obtient l'équivalence après avoir versé le volume V_B,E=10 mL.

Partie II — Production du zinc par électrolyse

Plus de la moitié de la production mondiale de zinc Zn se fait par électrolyse d'une solution acidifiée de sulfate de zinc. Cette électrolyse est réalisée au moyen de deux électrodes en graphite. Les deux couples Zn²⁺_(aq)/Zn_(s) et O_2(g)/H₂O_(ℓ) participent à cette électrolyse : le zinc métallique se dépose sur l'une des électrodes, et du dioxygène gazeux se dégage au niveau de l'autre électrode. Données : constante de Faraday : 1 F=96500 C·mol⁻¹ ; masse molaire : M(Zn)=65 g·mol⁻¹.

Les réactions nucléaires. La production d'énergie dans les réacteurs nucléaires repose sur la fission nucléaire de l'uranium 235 ; mais, au cours des réactions de fission, il se forme certains noyaux radioactifs qui peuvent nuire à l'environnement. Des recherches sont menées actuellement sur la manière de développer la production d'énergie nucléaire en s'appuyant sur la fusion nucléaire des isotopes de l'élément hydrogène. Données : masse des nucléides, en unité u : ²³⁵U : 234,9934 ; ²³⁸U : 238,0003 ; ¹⁴⁶Ce : 145,8782 ; ⁸⁵Se : 84,9033 ; masse des particules, en unité u : proton : 1,00728 ; neutron : 1,00866 ; constante d'Avogadro : N_A=6,02·10²³ mol⁻¹ ; masse molaire de l'uranium 235 : M(²³⁵U)=235 g·mol⁻¹ ; 1 u=931,5 MeV·c⁻².

Partie 1 — La fission nucléaire

La réaction de fission nucléaire qui se produit dans le cœur d'un réacteur nucléaire, à la suite du choc d'un noyau d'uranium ²³⁵U avec un neutron, conduit à la formation d'un noyau de cérium ¹⁴⁶Ce, d'un noyau de sélénium ⁸⁵Se et d'un certain nombre de neutrons, selon l'équation suivante : ²³⁵₉₂U + ¹₀n→¹⁴⁶₅₈Ce + ⁸⁵_ZSe + x ¹₀n.

Détermination des grandeurs caractéristiques d'une bobine et d'un condensateur. Les bobines et les condensateurs sont très utilisés dans les appareils et les systèmes électriques et électroniques courants (jouets d'enfants, horloges électriques, appareils d'alarme et de commande…). Cet exercice a pour but de déterminer les grandeurs physiques caractéristiques d'une bobine et d'un condensateur extraits d'un jouet d'enfant, à travers les études expérimentales suivantes : la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension ; les oscillations électriques libres dans un circuit RLC série ; les oscillations forcées dans un circuit RLC série.

Partie 1 — Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage expérimental représenté sur la figure 1, constitué de : (B), une bobine d'inductance L et de résistance r ; (C), un condensateur de capacité C ; (D), un conducteur ohmique de résistance R réglable ; (G), un générateur (GBF) de basse fréquence ; K, un interrupteur pouvant basculer entre les deux positions (1) et (2). On règle la résistance du conducteur ohmique sur la valeur R=200 Ω, et on bascule l'interrupteur K en position (1) à un instant choisi comme origine des dates (t=0) ; le générateur (G) applique alors, entre les bornes du dipôle PQ constitué de la bobine (B) et du conducteur ohmique (D), un échelon de tension montant de valeur E, puis un échelon de tension descendant de valeur nulle. Le document de la figure 2 donne les variations, en fonction du temps, de la tension u_PQ et de la tension u entre les bornes du conducteur ohmique.

Partie 2 — Oscillations libres dans un circuit RLC série

On règle la résistance du conducteur ohmique sur la valeur R=20 Ω et on bascule l'interrupteur K en position (2), à un instant choisi comme nouvelle origine des dates (t=0) ; on observe sur l'écran de l'oscilloscope l'oscillogramme représenté sur la figure 4, qui donne la tension u entre les bornes du conducteur ohmique (D) sur l'entrée Y₁, et la tension entre les bornes du générateur G sur l'entrée Y₂.

Partie 3 — Oscillations forcées dans un circuit RLC série

On règle de nouveau la résistance du conducteur ohmique sur la valeur R=100 Ω. On bascule l'interrupteur en position (2), et le générateur (G) applique entre les bornes P et Q une tension alternative sinusoïdale u(t)=U√2cos(2πN t + φ), de fréquence N réglable ; il passe alors dans le circuit un courant d'intensité instantanée i(t)=I√2cos 2πN t. On mesure la tension efficace U₁ entre les bornes du dipôle PF, constitué de la bobine et du condensateur précédents, et la tension efficace U₂ entre les bornes du conducteur ohmique (D). Lorsqu'on règle la fréquence sur la valeur N=216 Hz, on trouve U₁=U₂.

Mouvement d'un sportif sur un plan incliné. Un sportif de masse m=60 kg glisse sur un plan (π) incliné d'un angle α=12° par rapport au plan horizontal. Le plan (π) a une forme rectangulaire, de longueur OM et de largeur ON=20 m (figure 1). On modélise le sportif par un corps solide (S) de masse m et de centre d'inertie G. On étudie le mouvement du centre d'inertie G du corps (S) dans le repère orthonormé (O,i,j), où l'axe (O,i) est horizontal et l'axe (O,j) parallèle à la ligne de plus grande pente du plan (π). On néglige tous les frottements et on prend g=9,80 m·s⁻².

Partie 1 — Étude d'un mouvement plan sur un plan incliné

À l'instant t=0, le centre d'inertie G du sportif passe par le point O, origine du repère (O,i,j), avec une vitesse initiale v₀ contenue dans le plan (π) et faisant un angle β avec l'axe (O,i).

Partie 2 — Étude d'un mouvement oscillatoire sur un plan incliné

Le sportif saisit l'extrémité d'une corde dont l'autre extrémité est fixée en un point A situé en haut du plan (π), et il se met à effectuer de petites oscillations sur le plan (π) autour de sa position d'équilibre AG₀, parallèle à l'axe (O,j). Pour étudier le mouvement du sportif attaché à la corde, on le modélise par un pendule simple constitué d'un corps solide de masse m et de centre d'inertie G, attaché à une corde de longueur ℓ=12 m, inextensible, de masse négligeable et parallèle au plan (π) (figure 2). On repère à chaque instant la position de G par l'angle θ que fait la corde avec la droite (AG₀). On prend l'énergie potentielle de pesanteur nulle au niveau du plan horizontal passant par G₀. Le moment d'inertie J_Δ par rapport à l'axe de rotation (Δ) passant par le point A est J_Δ=m ℓ². Dans le cas des petites oscillations : cosθ≈1 − θ²2 (θ en radian).