National 2009 · SM (traduit de l'arabe) · session normale

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I — Contrôle de la teneur d'un élément chimique dans un produit industriel

Certains produits industriels azotés sont très utilisés dans le domaine agricole, parce qu'ils contiennent l'élément azote, qui compte parmi les éléments nécessaires à la fertilisation du sol. Un produit industriel contient du nitrate d'ammonium NH₄NO_3(s), très soluble dans l'eau ; cette dissolution est considérée comme une transformation totale, que l'on modélise par l'équation suivante, l'eau H₂O_(ℓ) étant écrite au-dessus de la flèche : NH₄NO_3(s)→NH⁺_4(aq) + NO⁻_3(aq). Sur le sac d'emballage du produit industriel azoté, le fabricant indique le pourcentage massique X de l'élément azote dans ce produit : X=27 %. Cet exercice a pour but de vérifier la valeur X=27 %. Données : M(H)=1 g·mol⁻¹ ; M(N)=14 g·mol⁻¹ ; M(O)=16 g·mol⁻¹ ; toutes les mesures de pH ont été effectuées à la température de 25 °C ; le produit ionique de l'eau à la température de 25 °C est K_e=10⁻¹⁴ ; la constante d'acidité du couple NH₄⁺/NH₃ est : pK_A=9,20. 1 — Étude d'une solution aqueuse de nitrate d'ammonium NH⁺_4(aq) + NO⁻_3(aq). On prend un volume V_S d'une solution aqueuse (S) de nitrate d'ammonium de concentration molaire C=4,00·10⁻² mol·L⁻¹. La mesure du pH de cette solution donne : pH=5,30. 2 — Détermination du pourcentage massique X de l'élément azote dans un produit industriel. On dissout dans l'eau pure un échantillon du produit industriel azoté de masse m=5,70 g ; on obtient une solution aqueuse (S_A) de volume V=250 mL. On prélève de la solution (S_A) un volume V_A=20,0 mL, et on dose les ions ammonium qu'il contient au moyen d'une solution aqueuse (S_B) d'hydroxyde de sodium Na⁺_(aq) + HO⁻_(aq) de concentration molaire C_B=0,200 mol·L⁻¹ ; on atteint l'équivalence après avoir versé le volume V_BE=22,0 mL de la solution (S_B).

Partie II — Préparation de l'arôme d'ananas

De nombreux fruits contiennent des esters à l'arôme caractéristique ; l'arôme de l'ananas, par exemple, est dû au butanoate d'éthyle, ester de formule semi-développée suivante : CH₃−CH₂−CH₂−COO−CH₂−CH₃. Pour répondre aux besoins de l'industrie alimentaire en cet ester, on utilise un ester de synthèse identique à l'ester naturel extrait de l'ananas, que l'on synthétise facilement et à moindre coût. Données : M(H)=1 g·mol⁻¹ ; M(C)=12 g·mol⁻¹ ; M(O)=16 g·mol⁻¹. 1 — On obtient le butanoate d'éthyle par la réaction d'un acide carboxylique A avec un alcool B, en présence d'acide sulfurique, selon l'équation chimique suivante : A_(ℓ) + B_(ℓ)⇌CH₃−CH₂−CH₂−COO−CH₂−CH_3(ℓ) + H₂O_(ℓ). 2 — On chauffe à reflux un mélange équimolaire contenant n₀=0,30 mol de l'acide A et n₀=0,30 mol de l'alcool B, en présence d'acide sulfurique. À l'équilibre chimique, on obtient 23,2 g de butanoate d'éthyle.

Les ultrasons. Les ultrasons sont des ondes mécaniques dont la fréquence est supérieure à celle des ondes sonores audibles par l'homme. On exploite les ultrasons dans plusieurs domaines, comme l'échographie. Cet exercice a pour but : d'étudier la propagation des ultrasons ; de déterminer les dimensions d'un tube métallique.

Partie 1 — Propagation des ondes mécaniques

1.2 — Propagation des ultrasons dans l'eau. On place un émetteur E et deux récepteurs R₁ et R₂ d'ultrasons dans une cuve remplie d'eau, de sorte que l'émetteur E et les deux récepteurs soient alignés le long d'une règle graduée (figure 1). L'émetteur envoie une onde ultrasonore progressive sinusoïdale qui se propage dans l'eau et atteint les deux récepteurs R₁ et R₂. Les deux signaux captés par les récepteurs R₁ et R₂ sont appliqués respectivement aux entrées Y₁ et Y₂ d'un oscilloscope. Lorsque les deux récepteurs R₁ et R₂ se trouvent ensemble au zéro de la règle graduée, on observe sur l'écran de l'oscilloscope l'oscillogramme représenté sur la figure 2, où les deux courbes, correspondant aux signaux captés par R₁ et R₂, sont en phase. La sensibilité horizontale de l'oscilloscope est réglée sur 5 µs/div. On éloigne R₂ le long de la règle graduée : on observe que la courbe correspondant au signal capté par R₂ se décale vers la droite, et les deux signaux captés par R₁ et R₂ sont de nouveau en phase lorsque la distance entre R₁ et R₂ vaut d=3 cm. 1.3 — Propagation des ultrasons dans l'air. On garde les éléments du montage expérimental à leurs places (d=3 cm) et on vide la cuve de son eau : le milieu de propagation des ultrasons devient l'air. On observe alors que les deux signaux reçus par R₁ et R₂ ne sont plus en phase.

Partie 2 — Utilisation des ultrasons pour mesurer les dimensions d'un tube métallique

Une sonde, qui joue le rôle d'émetteur et de récepteur, envoie un signal ultrasonore de très brève durée, de direction perpendiculaire à l'axe du tube métallique de forme cylindrique (figure 3). Le signal ultrasonore pénètre dans le tube, s'y propage et se réfléchit chaque fois que le milieu de propagation change, puis revient à la sonde, où il se transforme en un signal électrique de brève durée. On visualise ensemble, au moyen d'un oscilloscope à mémoire, le signal émis et le signal réfléchi. L'oscillogramme obtenu lors du contrôle d'un tube métallique permet de tracer le diagramme représenté sur la figure 4. On observe des traits verticaux P₀, P₁, P₂ et P₃ (figure 4) : P₀ correspond à l'instant t=0 de l'émission du signal ; P₁ correspond à l'instant où la sonde capte le signal réfléchi ① ; P₂, à l'instant où elle capte le signal réfléchi ② ; P₃, à l'instant où elle capte le signal réfléchi ③. Vitesse de propagation des ultrasons : dans le métal du tube, v_m=1,00·10⁴ m·s⁻¹ ; dans l'air, v_a=340 m·s⁻¹.

Rôle du dipôle RC dans un récepteur d'ondes électromagnétiques. Le condensateur est utilisé dans la fabrication de nombreux appareils électroniques, parmi lesquels le récepteur d'ondes électromagnétiques. Cet exercice a pour but d'étudier la charge d'un condensateur et le rôle du dipôle RC dans l'un des étages d'un récepteur d'ondes électromagnétiques.

Partie 1 — Étude de la charge d'un condensateur

On réalise le circuit électrique représenté sur la figure 1, constitué de : (G), un générateur électrique idéal de tension, de force électromotrice E ; (D), un conducteur ohmique de résistance R=100 Ω ; (C), un condensateur de capacité C ; K, un interrupteur. Le condensateur n'est pas chargé. On ferme l'interrupteur à un instant que l'on choisit comme origine des dates (t=0).

Partie 2 — Étude du rôle du dipôle RC dans le circuit détecteur d'enveloppe d'un récepteur d'ondes électromagnétiques

On utilise le conducteur ohmique (D) et le condensateur (C) dans le circuit détecteur d'enveloppe qui correspond à l'un des étages du montage représenté sur la figure 3, afin de détecter l'enveloppe de la tension u(t), modulée en amplitude, d'expression : u(t)=k·[0,5cos(10³·π·t) + 0,7]·cos(10⁴·π·t).

Les amortisseurs et la sécurité routière.

Partie I — Essai de freinage d'une voiture

Les essais réalisés dans une usine automobile ont montré que : l'accélération d'une voiture pendant le freinage sur une route horizontale, au moyen des freins, reste constante ; la valeur de cette accélération est la même quelle que soit la vitesse de la voiture avant le début de la phase de freinage. Le graphe (figure 1) donne ce type d'essais, à partir de l'instant t=0 où le conducteur voit un obstacle devant lui. Une seconde (1 s) s'écoule entre l'instant où le conducteur voit l'obstacle et l'instant où il appuie sur la pédale de frein : c'est la durée normale de réaction du conducteur.

Partie II — Modélisation de la suspension de la voiture

La suspension de la voiture est constituée de ressorts et d'amortisseurs qui assurent le confort et la sécurité des passagers : les ressorts se compriment et se détendent, tandis que les amortisseurs servent à amortir les vibrations. On modélise la voiture par un pendule élastique vertical amorti, comme le montre la figure 2 : c'est un corps solide (S), de masse égale à la masse de la voiture M=1353 kg et de centre d'inertie G, fixé à l'extrémité supérieure d'un ressort vertical de raideur K=6·10⁵ N·m⁻¹, à spires non jointives et de masse négligeable. L'amortisseur exerce sur le corps (S) qui lui est lié une force de frottement fluide pendant les oscillations. 1 — Étude énergétique de l'oscillateur (corps (S) ; ressort) en l'absence d'amortissement. On considère que le pendule élastique vertical (corps (S) + ressort) est sans amortisseur, et que l'énergie mécanique de cet oscillateur se conserve. À l'équilibre, la position G₀ du centre d'inertie du corps (S) se trouve dans le plan horizontal qui contient l'origine O de l'axe vertical (O,k) orienté vers le haut ; le ressort est alors comprimé de |Δℓ₀|. L'oscillateur peut effectuer des oscillations verticales autour de sa position d'équilibre G₀. On repère à chaque instant la position du centre d'inertie G du corps (S) sur l'axe vertical (O,k), pendant ses oscillations, par sa cote z (figure 3). On choisit le plan horizontal qui contient l'origine O de l'axe (O,k) comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur (E_pp=0), et l'état où le ressort n'est pas déformé comme état de référence de l'énergie potentielle élastique (E_pe=0). 2 — Étude énergétique de l'oscillateur en présence d'amortissement. Le corps (S) est soumis, dans ce cas, à la force de frottement fluide exercée par l'amortisseur, d'expression f=−h·dzdt·k, où h est une constante positive qui dépend de la qualité de l'amortisseur et qu'on appelle coefficient d'amortissement. On montre que, dans ce cas, l'équation différentielle vérifiée par la cote z du centre d'inertie G s'écrit : M·d²zdt² + h·dzdt + K·z=0.